[論文レビュー] A bound for the number of vertices of a polytope with applications

Alexander Barvinok|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、n次元空間内の特定の多面体の頂点数に下界を確立し、わずかな幾何的制約のもとで、それが $2^{\Omega(n)}$ のオーダーで指数関数的に増加することを証明する。主な結果は、中心対称多面体および正則グラフに応用され、$k \geq 2r+1$ のとき、小さなカットをもたない$k$-正則グラフは、$r$-因子を指数関数的に多くもつことが示され、Lovász-Plummer予想への新たなアプローチが得られる。

ABSTRACT

We prove that the number of vertices of a polytope of a particular kind is exponentially large in the dimension of the polytope. As a corollary, we prove that an n-dimensional centrally symmetric polytope with O(n) facets has 2^{Omega(n)} vertices and that the number of r-factors in a k-regular graph is exponentially large in the number of vertices of the graph provided k >2r and every cut in the graph with at least two vertices on each side has more than k/r edges.

研究の動機と目的

• 線形不等式と球内への包含によって定義される多面体の頂点数に対する一般的な下界を確立すること。
• 中心対称多面体にこの下界を適用し、$O(n)$個の面をもつものについて、$2^{\Omega(n)}$ 個の頂点をもつ必要があることを示すこと。
• 小さなカット条件の下で、$k$-正則グラフにおける$r$-因子の数に指数的下界を導出すること。
• 立方体グラフにおける完全マッチングの数について、Lovász-Plummer予想の簡潔な証明への新たな手法を提供すること。

提案手法

• 多面体上での確率的関数の最大値に基づく確率的議論を用いて、頂点数の下界を導出する。
• 頂点数が小さい場合、確率的線形関数の最大値も小さいが、一方で、ランダムな線分との長距離交差により、この最大値は大きいことを示す。
• 中心対称多面体を、主定理の条件を満たす形に線形変換する。
• $r$-因子の指示ベクトルの凸包として定義される$r$-因子多面体$P_r(G)$を定義し、その構造を用いて主定理を適用する。
• 小さなカット条件の下で、中心ベクトル$a(e) = r/k$が$P_r(G)$の内部に、$\epsilon > 0$ のマージンをもって存在することを証明する。
• 多面体$P_r(G) - a$を$\epsilon^{-1}$倍して、主定理の仮定を満たすようにスケーリングし、その後頂点数の下界を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心対称多面体が$O(n)$個の面をもつとき、$n$次元空間内での最小頂点数はどのくらいか？
• RQ2 $k$-正則グラフが、頂点数の指数関数的増加を示す$r$-因子をもつ条件は何か？
• RQ3 すべての非自明なカットのサイズが4以上である場合、立方体グラフにおける完全マッチングの数は$2^{\Omega(|V|)}$で下から抑えられるか？
• RQ4 指数的下界を組合せ的対象（正則グラフにおける$r$-因子など）に与える幾何的技法は存在するか？
• RQ5 この手法は、Lovász-Plummer予想の代替的証明を得るために鋭くされる可能性はあるか？

主な発見

• 線形関数$|\langle x, u_i \rangle| \leq 1$を満たす$m \leq \alpha n$個の単位法線ベクトルと$\|x\| \leq \beta\sqrt{n}$を満たす$n$次元空間内の多面体$P \subset \mathbb{R}^n$の頂点数は、ある$\gamma = \gamma(\alpha, \beta) > 0$に対して$\exp(\gamma n)$以上である。
• $O(n)$個の面をもつ$n$次元の中心対称多面体は、ある$\gamma > 0$に対して少なくとも$2^{\gamma n}$個の頂点をもつ。これは、Figiel-Lindenstrauss-Milman不等式による$2^{\Omega(n / \log n)}$の下界を改善する。
• $k \geq 2r+1$のとき、$k/r$未満のサイズの非自明なカットをもたない任意の$k$-正則グラフは、ある$\gamma = \gamma(k,r) > 0$に対して少なくとも$2^{\gamma |V|}$個の異なる$r$-因子をもつ。
• 特に、すべての非自明なカットのサイズが4以上である立方体グラフは、頂点数の指数関数的増加を示す完全マッチングをもつ。
• 本手法は、Lovász-Plummer予想の簡潔な証明につながる可能性がある新しい幾何的枠組みを提供する。この予想は、立方体グラフにおける完全マッチングの数が$2^{\Omega(|V|)}$であるというものである。
• 主定理における下界$\gamma$は、パrameter $\rho$ を用いて定量的に推定され、$\alpha$、$\beta$、$\epsilon$ を含む2つの不等式を満たすことで、$\gamma > 0$ が保証される。