[論文レビュー] A boundary control problem for the viscous Cahn--Hilliard equation with dynamic boundary conditions

Pierluigi Colli, Gianni Gilardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Differential Equations and Numerical Methods被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、動的境界条件およびおそらく特異的ポテンシャルを有する粘性カーン＝ヒリャールド方程式に対する境界最適制御問題を研究する。一階の必要最適性条件は、随伴状態系を導出することで確立され、複雑な境界動的を有する相分離過程の制御の理論的基盤を提供する。

ABSTRACT

A boundary control problem for the viscous Cahn-Hilliard equations with possibly singular potentials and dynamic boundary conditions is studied and first order necessary conditions for optimality are proved. Key words: Cahn-Hilliard equation, dynamic boundary conditions, phase separation, singular potentials, optimal control, optimality conditions, adjoint state system

研究の動機と目的

• 粘性カーン＝ヒリャールド方程式の動的境界条件下での最適制御を分析すること。
• 相分離に非滑らかな自由エネルギーをモデル化するため、おそらく特異的ポテンシャルを組み込むこと。
• 制御問題のための一階の必要最適性条件を導出すること。
• 複雑な境界動的を有する相分離モデルにおける境界制御のための厳密な数学的枠組みを確立すること。

提案手法

• 動的境界条件を有する粘性カーン＝ヒリャールド方程式の境界制御問題を定式化すること。
• 相分離における非凸的自由エネルギーをモデル化するため、特異的ポテンシャルを組み込むこと。
• 最適制御問題に関連する随伴状態系を導出すること。
• 変分法および変分法の技法を用いて一階最適性条件を導出すること。
• 関数解析的技法を用いて特異的ポテンシャルおよび動的境界項を扱うこと。
• 適切な仮定の下で、状態系および随伴系の解の存在性と正則性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的境界条件を有する粘性カーン＝ヒリャールド方程式に対して、境界最適制御をどのように達成できるか。
• RQ2 特異的ポテンシャルが存在する場合、必要な一階最適性条件は何か。
• RQ3 動的境界条件は、随伴系および最適性条件の構造にどのように影響するか。
• RQ4 特異的ポテンシャルが存在するにもかかわらず、最適性系を厳密に導出できるか。
• RQ5 この制御設定における解の存在性および正則性を支持する数学的枠組みは何か。

主な発見

• 動的境界条件を有する境界制御問題に対して、一階の必要最適性条件が厳密に導出された。
• 随伴状態系が確立され、適切な仮定の下で適切に定義されていることが示された。
• 特異的ポテンシャルは、変分的技法および関数解析的道具を用いて取り扱われた。
• 制御問題は、相分離過程における物理的妥当性を保つ形で定式化された。
• 理論的枠組みは、カーン＝ヒリャールド系における複雑な境界動的の解析を支持する。
• 結果として、特異的ポテンシャルおよび動的境界を有する系への最適制御理論の拡張がなされた。