[論文レビュー] A boundary problem with integral gluing condition for a parabolic-hyperbolic equation involving the Caputo fractional derivative

Erkinjon Karimov, J. S. Akhatov|arXiv (Cornell University)|May 22, 2013

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 12被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、パラボリック・ハイパーボリック型方程式に対するCaputo微分作用素を含むTricomi問題を、パラボリック・ハイパーボリック界面における積分的接続条件を用いて考察する。エネルギー積分法を用いて、核関数に関する条件下で一意性を証明し、Fredholm積分方程式およびGreen関数を用いて存在性を確立し、両領域における解の明示的表現を導出する。

ABSTRACT

In the present work we investigate the Tricomi problem with integral gluing condition for parabolic-hyperbolic equation with the Caputo fractional order derivative. Using the method of energy integrals we prove the uniqueness of the solution for considered problem. The existence will be proved using methods of ordinary differential equations, Fredholm integral equations and solution will be represented in an explicit form.

研究の動機と目的

• パラボリック・ハイパーボリック型方程式とCaputo微分作用素を含むTricomi問題を調査すること。
• パラボリック・ハイパーボリック界面における積分的接続条件が解の挙動に与える影響を分析すること。
• 核関数および係数に関する特定の制約下で解の一意性を確立すること。
• 常微分方程式およびFredholm積分方程式の手法を用いて解の存在性を証明すること。
• パラボリック領域およびハイパーボリック領域における解の明示的表現を導出すること。

提案手法

• 核関数および係数に関する制約の下で解の一意性を証明するためにエネルギー積分法を用いる。
• 境界条件および接続条件を用いて解を表現することで、問題を積分方程式系に変換する。
• パラボリック領域における第一境界値問題のGreen関数を用いて、解を明示的に表現する。
• 特性法およびd’Alembertの公式を用いて、ハイパーボリック領域における解を表現する。
• トレース関数τ₁(x)に対して、第二種Fredholm積分方程式を定式化し、再帰核を用いて解けるようにする。
• エネルギー推定の解析および一意性証明を容易にするために、核構造∂Q/∂t = −Q₁(x)Q₁(t)を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接続核Q(x,t)に関してどのような条件下で、Caputo微分作用素を含むTricomi問題の解が一意的となるか？
• RQ2 積分的接続条件は、混合型方程式における古典的連続的接続条件をどのように一般化するか？
• RQ3 一般の連続データおよび核関数に対して、解の存在性を確立できるか？
• RQ4 パラボリック領域およびハイパーボリック領域における解に対して、どのような明示的表現が得られるか？
• RQ5 係数γ₁およびγ₂、および核Q(x,t)が解の正則性および一意性に与える影響は何か？

主な発見

• γ₂ ≥ 0、Q(x,x) > 0、および∂Q/∂t = −Q₁(x)Q₁(t)の条件下で解の一意性が証明され、同次系ではτ₁(x) ≡ 0となることが保証される。
• φ₁, φ₂, ψ ∈ C[0,1] ∩ C¹(0,1) および Q ∈ C¹([0,1]×[0,1]) の条件下で、解は存在し、閉形式で表現可能である。
• Ω⁺における解は式(24)で明示的に与えられ、Green関数とτ₁(ξ)との畳み込みを含む。このτ₁(ξ)はFredholm積分方程式から導出される。
• Ω⁻における解はd’Alembertの公式(6)で与えられ、同次系ではψ(x) = 0の条件からν₂(x)がτ′₂(x)から決定される。
• 積分方程式(20)における核K(x,ξ)は連続的であるため、再帰核R(x,ξ)が存在し、これによりτ₁(x)が式(23)で表現可能となる。
• 最終的な解は、解空間Wの定義に従い、界面y=0で連続であり、すべての境界条件および接続条件を満たす。