[論文レビュー] A bounded homogeneous domain and a projective manifold are not relatives

Roberto Mossa|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、有界な同次的ドメインに同次的ケーラー計量と複素射影空間（Fubini–Study計量を備えた）ケーラー多様体が、正則等長埋め込みを通じて非自明な共通ケーラー部分多様体を共有できないことを証明している。証明は、正準状態写像、再現核、およびCalabiの剛性定理を用い、有界な同次的ドメインから複素射影空間への正則等長埋め込みの像が、有限次元埋め込みを通じて無限次元射影空間に因数分解できないことを示している。

ABSTRACT

Let $M_1$ and $M_2$ be two Kähler manifolds. One says that $M_1$ and $M_2$ are "relatives" if they share a non-trivial Kähler submanifold $S$, namely, if there exist two holomorphic and isometric immersions (Kähler immersions) $h_1: S -> M_1$ and $h_2: S -> M_2$. In this paper we show that a bounded homogeneous domain with a homogeneous Kähler metric and a projective Kähler manifold (i.e. a projective manifold endowed with the restriction of the Fubini-Study metric) are not relatives. Our result is a generalization of the result obtained by A. J. Di Scala and A. Loi (in "Kähler manifolds and their relatives", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 9 3 (2010), 495-501) for the Bergman metrics.

研究の動機と目的

• 有界な同次的ドメインに同次的ケーラー計量と射影ケーラー多様体が、正則等長埋め込みを通じて非自明なケーラー部分多様体を共有できるかどうかを特定すること。
• Bergman計量を備えた有界なドメインと射影多様体の非親族性に関する先行結果を、同次的ケーラー計量を備えたより広いクラスの有界な同次的ドメインに一般化すること。
• 再現核と正準状態の幾何学的・解析的性質を用いて、これらの空間間のケーラー埋め込みに対する局所的障害を確立すること。
• 有界な同次的ドメインから複素射影空間へのケーラー埋め込みの像が、正準状態を通じて無限次元射影空間に引き上げられた際に、有限次元部分空間に含まれえないことを示すこと。

提案手法

• 有界な同次的ドメイン Ω にグローバルに定義されたケーラー潜在関数 Φ を構成し、その擬凸性とHörmanderのL2推定を活用する。
• 重み e−λΦ を持つ正則関数の重み付きヒルベルト空間 HλΦ を定義し、λ > 0 が十分に大きいとき非自明であることを示す。
• ε関数 ελg(z) = e−λΦ(z)KλΦ(z,z) を導入し、等長群 G の推移的作用により Ω 全体で定数であることを示す。
• diastasis関数 D(z) = log ψ(z,z) を定義し、これは計量 g のグローバルなケーラー潜在関数であり、群作用に関して不変である。
• Hλ𝒟 の正規直交基底を用いて、写像 φ: Ω → ℂP∞ を構成し、φ∗gFS = λg が成り立つことを示す。これは λg が射影的に誘導されることを意味する。
• Calabiの剛性定理を用い、1次元ケーラー部分多様体 S が Ω および ℂPm に等長に埋め込まれる場合に矛盾を導く。このとき、φ による像は ℂP∞ の有限次元部分空間に含まれるが、正準状態写像は無限次元性を要する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な同次的ドメインに同次的ケーラー計量と射影ケーラー多様体が、正則等長埋め込みを通じて非自明な共通ケーラー部分多様体を共有できるか？
• RQ2 有界な同次的ドメイン上での再現核の非消滅性と ε 関数の定数性が、射影空間へのケーラー埋め込みを防ぐか？
• RQ3 完全性やコンパクト性を仮定しない状況でも、有界な同次的ドメインから有限次元複素射影空間へのケーラー埋め込みに局所的障害は存在するか？
• RQ4 有界な同次的ドメインから ℂPm へのケーラー埋め込みの像が ℂP∞ に引き上げられた際に、Hλ𝒟 内の正規直交多項式による正準状態構成が矛盾を検出できるか？
• RQ5 Calabiの剛性定理は、有界かつ同次のドメインの場合、ケーラー埋め込みの像が正準状態写像を通じて ℂP∞ に因数分解できないことを示唆するか？

主な発見

• 有界な同次的ドメイン Ω において、十分に大きな λ > 0 に対して ε関数 ελg(z,w) = e−λΦ(z,w)KλΦ(z,w) は、等長群の推移的作用により定数である。
• diastasis関数 D(z) = log ψ(z,z) は計量 g のグローバルなケーラー潜在関数であり、それに付随する再現核 Kλ𝒟(z,w) により、正準状態写像 φ: Ω → ℂP∞ が適切に定義され、φ∗gFS = λg を満たす。
• ヒルベルト空間 Hλ𝒟 はすべての多項式と定数関数を含み、z1 に関する多項式の正規直交基底を備え、複素直線上の正規直交多項式の列 {Pk(z1)} が得られる。
• 正準状態写像 φ: Ω → ℂP∞ は正則的かつ等長的であり、その像は ℂP∞ の無限次元部分空間に含まれる。
• 1次元ケーラー部分多様体 S が Ω および ℂPm に等長に埋め込まれるならば、合成写像 φ∘f(S) は ℂP∞ の有限次元部分空間に含まれるが、これはCalabiの剛性定理に反する。
• ゆえに、このような共通ケーラー部分多様体 S は存在しえず、有界な同次的ドメインと射影ケーラー多様体は「親族」でないことが証明される。