[論文レビュー] A Bourgain-Brezis-Mironescu characterization of higher order Besov-Nikol'skii spaces

Julien Brasseur|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Bourgain-Brezis-Mironescu フレームワークを高階数の分数的空間へ拡張し、$M$-階差を含む積分汎関数のクラスを用いて、Besov-Nikol'skii 空間 $B_{p,∞}^{s}(ℝ^N)$ の非局所的特徴付けを提供する。$W^{1,p}$、$BV$、$C^{0,1}$ の等価ノルムを確立し、新たな非コンパクト性結果を示し、リプシッツ空間とBesov空間の間の極限的および非極限的埋め込みを導出する。

ABSTRACT

We study a class of nonlocal functionals in the spirit of the recent characterization of the Sobolev spaces $W^{1,p}$ derived by Bourgain, Brezis and Mironescu. We show that it provides a common roof to the description of the $BV(\mathbb{R}^N)$, $W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$, $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$ and $C^{0,1}(\mathbb{R}^N)$ scales and we obtain new equivalent characterizations for these spaces. We also establish a non-compactness result for sequences and new (non-)limiting embeddings between Lipschitz and Besov spaces which extend the previous known results.

研究の動機と目的

• Bourgain, Brezis, Mironescu による $W^{1,p}$ の非局所的特徴付けを、高階数の分数的空間およびBesov-Nikol'skii 空間に拡張すること。
• 共通の非局所的汎関数枠組みにおいて $W^{1,p}$、$BV$、$B_{p,∞}^{s}$、$C^{0,1}$ 空間の記述を統一すること。
• $M$-階差とモリファイアベースの汎関数を用いて、Besov-Nikol'skii 空間の新たな等価特徴付けを確立すること。
• これらの空間における列の新たな非コンパクト性結果を導出し、リプシッツ空間とBesov空間の間の既知の極限的および非極限的埋め込みを拡張すること。

提案手法

• 本論文は、$M$-階前進差 $\Delta_h^M f(x)$ と径数モリファイア列 $\rho_\varepsilon$ を含む非局所的汎関数を導入し、凹関数 $\omega$ に対して統合する。
• Littlewood-Paley 分解を用いて、非局所的汎関数を dyadic 周波数局在化を通じて、同次 Besov 半ノルム $\|f\|_{B_{p,\infty}^s}$ と関連付ける。
• 証明は、モリファイアスケール $\varepsilon \sim 2^{-j}$ の離散化と、Lamy および Mironescu が得た $\|f - f * \rho_{2^{-j}}\|_{L^p}$ の既知の推定値を用いて、$2^{js}\|f_j\|_{L^p}$ を制御することに依拠する。
• Jensen の不等式を適用して、$|h|^{-sp}$ 重みを用いた非局所的汎関数の観点から、$\rho_\varepsilon * f - f$ の $L^p$ ノルムを上界で抑え込む。
• 元のモリファイア $\rho$ をその compact な台付き切断 $\tilde{\rho}$ と比較することで、コンパクト台付きカーネルに限らない結果を拡張する。
• この枠組みを用いて、極限的および非極限的埋め込みを導出し、$W^{r,p}$ ノルムにおける $r \downarrow 0$ の臨界ケースを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bourgain-Brezis-Mironescu の $W^{1,p}$ の特徴付けを、$M$-階差を用いて高階数のソボレフ空間およびBesov-Nikol'skii 空間に拡張できるか？
• RQ2 どの非局所的汎関数が、Besov-Nikol'skii 空間 $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$ の等価ノルムを提供するか？
• RQ3 非局所的枠組みにおいて、$r \to 0$ または $r \to 1$ のとき、$W^{r,p}$ と $L^p$ 間の極限的埋め込みはどのように振る舞うか？
• RQ4 $B_{p,\infty}^s$ の非局所的汎関数で有界な列において、どのような非コンパクト性現象が生じるか？
• RQ5 非局所的汎関数を用いて、リプシッツ空間とBesov空間の間の新たな埋め込みを導出できるか？

主な発見

• 関数 $\int_{\mathbb{R}^N} \int_{\mathbb{R}^N} \rho_\varepsilon(h) \frac{|\Delta_h^M f(x)|^p}{|h|^{sp}} \, dx \, dh$ が、$s \in (0,M]$ かつ $\rho_\varepsilon$ が径数モリファイアであるとき、$B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$ ノルムと同値であることが示された。
• 新たな極限的埋め込みが確立された：$\lim_{r \uparrow 1} (1-r)p \|f\|_{W^{r,p}}^p = K_{p,N} \|\nabla f\|_{L^p}^p$ であり、古典的結果が高階数設定へ拡張された。
• 非コンパクト性結果が証明された：非局所的汎関数で有界な列は、$B_{p,\infty}^s$ 内で弱収束する部分列を必ずしも持たない。
• $C^{0,1}(\mathbb{R}^N)$ は、$\omega(t) = t \log(1+t)$ を用いた非局所的汎関数により特徴付けられ、$BV$ および $W^{1,p}$ の結果が拡張された。
• リプシッツ空間 $\operatorname{Lip}(\mathbb{R}^N)$ と $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$ 間に非極限的埋め込みが確立された。$s < 1$ のとき $\|f\|_{B_{p,\infty}^s} \lesssim \|f\|_{\operatorname{Lip}}$ であり、指数の鋭さが示された。
• Lamy および Mironescu の結果 $\|f\|_{B_{p,\infty}^s} \lesssim \|f\|_{L^p} + \sup_{\varepsilon \in (0,1)} \frac{\|\rho_\varepsilon * f - f\|_{L^p}}{\varepsilon^s}$ が厳密に正当化され、非局所的枠組みに応用された。