[論文レビュー] A branch-and-price approach with MILP formulation to modularity density maximization on graphs

Keisuke Sato, Yoichi Izunaga|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無向グラフにおけるモジュラリティ密度最大化を正確に解くために、混合整数線形プログラミング（MILP）定式化を用いた決定的ブランチアンドプライス法を提示する。集合パッキング緩和と複数のカット平面を活用することで、標準PC上で100以上の頂点を有する実世界の大規模インスタンス（Protein p53を含む）を4分未満で最適解に到達させ、確率的変動なしに正確な最適解を達成する。

ABSTRACT

For clustering of an undirected graph, this paper presents an exact algorithm for the maximization of modularity density, a more complicated criterion to overcome drawbacks of the well-known modularity. The problem can be interpreted as the set-partitioning problem, which reminds us of its integer linear programming (ILP) formulation. We provide a branch-and-price framework for solving this ILP, or column generation combined with branch-and-bound. Above all, we formulate the column generation subproblem to be solved repeatedly as a simpler mixed integer linear programming (MILP) problem. Acceleration techniques called the set-packing relaxation and the multiple-cutting-planes-at-a-time combined with the MILP formulation enable us to optimize the modularity density for famous test instances including ones with over 100 vertices in around four minutes by a PC. Our solution method is deterministic and the computation time is not affected by any stochastic behavior. For one of them, column generation at the root node of the branch-and-bound tree provides a fractional upper bound solution and our algorithm finds an integral optimal solution after branching.

研究の動機と目的

• 従来のモジュラリティベースのコミュニティ検出における解像度制限と退化問題を解決するため、モジュラリティ密度を優れたクラスタリング基準として導入する。
• 標準モジュラリティよりも複雑な非線形分数形式およびコミュニティサイズ依存性を有するため、モジュラリティ密度最大化の正確な最適化フレームワークを構築する。
• セットパーティショニング整数線形計画（ILP）として定式化し、ブランチアンドプライスにより解くことで、正確なモジュラリティ密度最適化の計算的非可能性を克服する。
• カラム生成における新規高速化技術を用いて、100以上の頂点を有する大規模グラフクラスタリング問題を効率的に解く。
• 確率的探索やメタヒューリスティクスに依存せず、最適解を保証する決定的で非ヒューリスティックな解法を提供する。

提案手法

• 各カラムが潜在的なコミュニティとそれに伴うモジュラリティ密度への寄与を表すセットパーティショニングILPとして、モジュラリティ密度最大化を定式化する。
• カラム生成とブランチアンドバウンディングを組み合わせたブランチアンドプライスフレームワークを実装し、価格設定サブプロブレムを繰り返し解く。
• 価格設定サブプロブレムをより単純な混合整数線形計画（MILP）に再定式化し、標準最適化ソルバを用いて効率的なカラム生成を可能にする。
• 制限付きマスタープロブレムのセットパッキング緩和を導入し、カラム生成中の収束を加速し、双対解法の実行時間を短縮する。
• 一度に複数のカット平面を追加する「複数のカット平面を一度に適用する」技術を導入し、価格設定フェーズの効率を向上させる。
• セットパッキング緩和からの双対解を用いてカラム生成を誘導し、ブランチアンドプライスプロセス中にセットパーティショニング制約を動的に更新する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブランチアンドプライスフレームワークを用いて、大規模な実世界グラフにおけるモジュラリティ密度最大化を正確に解くことは可能か？
• RQ2 セットパッキング緩和や複数のカット平面といった高速化技術は、モジュラリティ密度最適化の計算時間をどれほど短縮できるか？
• RQ3 提案されたMILPベースの価格設定サブプロブレム定式化は、従来の手法と比較して、より高速かつ信頼性の高いカラム生成を可能にするか？
• RQ4 標準ベンチマークインスタンスにおいて、本手法は既存のヒューリスティックおよびメタヒューリスティック手法をどの程度上回るか？
• RQ5 100以上の頂点を有するグラフにおいて、本アルゴリズムは実用的な時間制限内で決定的かつ最適な解を達成できるか？

主な発見

• 提案されたMILP価格設定と高速化技術を用いたブランチアンドプライスアルゴリズムは、標準PC上ですべてのベンチマークインスタンス（Graph, Les Misérables, A00 main, Protein p53）を約4分未満で解釈した。
• Protein p53インスタンス（112頂点）において、根ノードでのカラム生成後に分数上界が得られ、その後に最適整数解が得られたことから、ブランチアンドプライス手法の有効性が裏付けられた。
• セットパッキング緩和は双対解法の実行時間を顕著に短縮し、特に初期イテレーションにおいて収束性を向上させ、単純なデュアルシンプレックス法を上回った。
• 一度に複数のカット平面を追加する技術は、価格設定イテレーション回数を削減したが、1回のイテレーションあたりのコストが増加したため、セットパッキング緩和単体よりも一部のケースで効果が劣った。
• カラム生成単体では、未解決インスタンスについても、最先端のヒューリスティクス（例：Santiago and Lamb, 2017）に比べてより良い下界が得られなかったため、カラム生成は単独で強力なヒューリスティクスとは言えないことが示された。
• 本アルゴリズムは完全に決定的であり、計算時間に確率的要因の影響を受けないため、クラスタリング結果の再現性と信頼性が保証される。