[論文レビュー] A Branching-selection process related to censored Galton-Walton processes

Olivier Couronné, Lucas Gerin|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、censored超臨界Galton-Watson過程と関連付けることで、分岐・選択粒子系の漸近的速さを確立する。censored過程の期待生存時間が $ (1/q)^N $ のように増加することを証明し、漸近的速さ $ v_N $ に対してきつい上限を得る。$ v_N $ は $ N $ に関して指数的に 1 に収束し、$ 1 - v_N acksim q^N $ となる。この関係により、系の伝播速度の正確な特徴づけが可能になる。

ABSTRACT

We obtain the asymptotics for the speed of a particular case of a particle system with branching and selection introduced by B\\'erard and Gou\\'er\\'e (2010). The proof is based on a connection with a supercritical Galton-Watson process censored at a certain level.

研究の動機と目的

• 整数直線上に $ N $ 個の粒子が存在する離散時間の分岐・選択粒子系の漸近的速さを分析すること。各粒子は位置 $ \ell $ で $ \mathcal{X} $ 個の粒子を $ \ell+1 $ に、$ \mathcal{X}' $ 個の粒子を $ \ell $ に生成し、その後常に右端の $ N $ 個の粒子が選択される。
• 分岐機構が $ \mathbb{E}[\mathcal{X}] > 1 $ を満たすクラスに対して、漸近的速さ $ v_N $ に対する厳密な上限を確立すること、特に $ N \to \infty $ の極限におけるもの。
• 粒子系の挙動をcensored Galton-Watson過程と関連付けることにより、速さ推定のための既知の生存時間の漸近的性質を利用可能にする。
• censored Galton-Watson過程の生存時間 $ U_N $ の精密な解析を行い、$ \mathbb{E}[U_N] \sim (1/q)^N $ を示す。この結果は速さの上限を導く上で中心的役割を果たす。

提案手法

• 各 $ N $ 個の粒子が位置 $ \ell $ にいるとき、$ \mathcal{X} $ 個の粒子を $ \ell+1 $ に、$ \mathcal{X}' $ 個の粒子を $ \ell $ に生成し、その後右端の $ N $ 個の粒子が選択される粒子系を定義する。
• 元の過程よりも確率的に支配されるように設計された補助過程 $ \tilde{Y}_k $ を導入する。この過程は各「リセット」時刻にすべての粒子を右端の位置に再起動することで、元の過程を支配する。
• 全 $ N $ 個の粒子が右端の可能な位置にある時刻 $ V^i $ を基に、再生時刻 $ \Gamma^i $ を定義する。これにより再生構造が得られる。
• 再生報酬定理を用いて、時刻 $ k $ までの再生回数の期待値 $ I_k $ と再生間隔の期待時間の関係を導出し、$ \lim_{k\to\infty} \frac{1}{k}\mathbb{E}[I_k] = \frac{1}{\mathbb{E}[V^1]+1} $ を得る。
• 元の過程の最大位置について $ \max Y_k \geq \max \tilde{Y}_k = k - I_k $ が成り立つため、$ \frac{1}{k}\mathbb{E}[\max Y_k] \geq 1 - \frac{1}{\mathbb{E}[V^1]+1} $ が得られ、これにより $ v_N $ の下界が得られる。
• $ V^1 $ とcensored Galton-Watson過程の生存時間 $ U_N $ の間の関係を活用し、$ \mathbb{E}[V_N] = \mathbb{E}[U_N] $ を示す。これにより、既知の漸近的性質 $ \mathbb{E}[U_N] \sim (1/q)^N $ を利用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ N \to \infty $ のとき、分岐・選択粒子系の漸近的速さ $ v_N $ はどのように振る舞うか？
• RQ2 censored Galton-Watson過程の生存時間は、粒子系の伝播速度とどのように関連するか？
• RQ3 censored Galton-Watson過程に基づく再生過程を用いたカップリングにより、速さ $ v_N $ を上限で評価できるか？
• RQ4 censored Galton-Watson過程の生存時間 $ \mathbb{E}[U_N] $ の正確な漸近的挙動は何か？ 特に、吸収がレベル $ N $ で起こる場合。
• RQ5 分岐と選択のダイナミクスが、$ 1 - v_N $ の $ N $ に関する指数的減衰をどのように生じさせるか？

主な発見

• 粒子系の漸近的速さ $ v_N $ は、$ N \to \infty $ のとき $ 1 - v_N \sim q^N $ を満たす。ここで $ q $ は元のGalton-Watson過程の絶滅確率である。
• censored Galton-Watson過程の期待生存時間 $ \mathbb{E}[U_N] $ は $ (1/q)^N $ のように増加する。これが $ v_N $ の上限を求めるための主要な入力となる。
• 下界は $ v_N \geq 1 - \frac{1}{\mathbb{E}[V_N] + 1} $、上界は $ v_N \leq 1 - \frac{1}{\mathbb{E}[U_N]} $ で与えられ、両者とも $ 1 - q^N $ と漸近的に同値である。
• 全粒子が右端の位置にあるまでの時間 $ V^1 $ は、censored Galton-Watson過程の生存時間 $ U_N $ と同じ分布に従う。
• 支配過程 $ \tilde{Y}_k $ とのカップリングにより $ \max Y_k \geq \max \tilde{Y}_k = k - I_k $ が成り立ち、再生構造から再生定理を用いて漸近的速さの推定が得られる。
• 結果として、$ v_N \to 1 $ が $ N $ に関して指数的に速く収束することが確認され、そのレートは子孫分布の絶滅確率 $ q $ によって支配される。