[論文レビュー] A Brezis-Browder theorem for SSDB spaces

Stephen Simons|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2010

Optimization and Variational Analysis参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、反射的バナッハ空間におけるBrezis-Browderの定理の最大単調性に関する一般化を、対称的自己双対バナッハ（SSDB）空間へと展開する。新しい横断的結果を導入し、SSDB空間の双対構造を活用することで、ノルム閉でq正の線形部分空間が最大q正であるための必要十分条件を示した。その条件は、その直交補空間（ annihilator ）がq負（または最大q負）であることである。これは、対称的双一次形式と双対空間への等長同型写像によって特徴づけられる、内在的双対性を持つより広いクラスの空間へと古典的結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we show how the Brezis-Browder theorem for maximally monotone multifunctions with a linear graph on a reflexive Banach space, and a consequence of it due to Yao, can be generalized to SSDB spaces.

研究の動機と目的

• 反射的バナッハ空間における古典的Brezis-Browder定理の最大単調性に関する結果を、対称的自己双対バナッハ（SSDB）空間というより一般的な枠組みへと拡張すること。
• 部分空間の直交補空間とその双対性を用いて、SSDB空間における最大q正性の特徴づけを確立すること。
• 反射的バナッハ空間におけるYaoの単調線形作用素に関する結果を、対称的双一次形式と等長双対性の構造を介してSSDB設定へと一般化すること。
• ヒルベルト空間や反射的バナッハ空間における空間とその双対空間の双対性にインspiredされた、内在的双対性を持つ空間における単調性と最大性の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 対称的双一次形式、二次関数q、ノルム、および双対空間への等長同型写像によって定義される、対称的自己双対バナッハ（SSDB）空間の概念を導入する。
• SSDB空間の部分集合に対してq正性およびq負性を定義し、反射的バナッハ空間における単調性および最大単調性を一般化する。
• Fenchel共役関数と対称的双一次形式を結ぶ、主要な技術的道具である横断的結果（定理3.3）を確立する。
• ノルム閉でq正の部分空間の指示関数のFenchel共役を用いて、直交補空間と二次関数との間に双対性条件を導出する。
• ノルム閉でq正の線形部分空間Aが最大q正であるための必要十分条件が、その直交補空間A⁰がq負であることであることを、写像ιによる空間とその双対空間の双対性を用いて証明する。
• 例2.3により、標準的な反射的バナッハ空間の設定へ応用する。この場合、E×E*はSSDB空間となり、元のBrezis-Browder定理およびYaoの定理が系として得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射的バナッハ空間におけるBrezis-Browderの最大単調性定理は、対称的双対性を持つより広いクラスの空間へと拡張可能か？
• RQ2 SSDB空間におけるノルム閉でq正の線形部分空間が最大q正であるための条件は何か？
• RQ3 q正の部分空間の直交補空間は、SSDB枠組みにおいてその最大性とどのように関係するか？
• RQ4 SSDB空間には、凸解析および単調作用素論で用いられる双対性条件を一般化する横断的原理が存在するか？
• RQ5 古典的な最大単調性と随伴作用素の単調性の同値性は、SSDB設定でも回復可能か？

主な発見

• SSDB空間におけるノルム閉でq正の線形部分空間Aは、その直交補空間A⁰がq負であるための必要十分条件を満たす。
• 同じ部分空間Aは、その直交補空間A⁰が最大q負であるための必要十分条件を満たす。これにより、最大性と直交補空間の性質との間の双対性が確立される。
• 定理3.3における横断的結果は、Aの指示関数のFenchel共役と対称的双一次形式、および直交補空間を結ぶ主要な技術的道具である。
• 証明は、ノルム閉でq正の部分空間の指示関数のFenchel共役が、直交補空間と二次関数を含む双対性条件を満たすという事実に依拠している。
• SSDB空間をE×E*とし、標準的双対性と対称的双一次形式をとると、古典的Brezis-Browder定理およびYaoの定理が系として得られる。
• 等長同型写像ι: B → B*により、SSDB空間の双対構造が最大単調性に必要な主要な性質を保ち続ける。これは、反射的バナッハ空間の場合の一般化である。