[論文レビュー] A Brezis-Nirenberg type result for mixed local and nonlocal operators

Stefano Biagi, Serena Dipierro+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2022

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ラプラシアンと分数ラプラシアンを組み合わせた混合局所および非局所作用素に対する、Brezis-Nirenberg型の結果を確立する。対応するソボレフ不等式における最適定数が、古典的ソボレフ定数 $σ_n$ に等しく、極めて重要な点として、この定数が決して達成されないことを示し、有界な星型領域において $λ \leq 0$ のとき臨界定数問題に対する解の非存在性を導く。

ABSTRACT

We study a critical problem for an operator of mixed order obtained by the superposition of a Laplacian with a fractional Laplacian. In particular, we investigate the corresponding Sobolev inequality, detecting the optimal constant, which we show that is never achieved. Moreover, we present an existence (and nonexistence) theory for the corresponding subcritical perturbation problem.

研究の動機と目的

• 混合局所および非局所作用素を含む臨界定数問題に対する解の存在および非存在を調査すること。
• ラプラシアンと分数ラプラシアンを含む混合順序ソボレフ不等式における最適定数を特定すること。
• 古典的Brezis-Nirenberg枠組みを、特にパrameter $λ が摂動問題に与える役割を分析することにより、混合順序作用素へと拡張すること。
• 混合ソボレフ不等式における最適定数が、古典的ソボレフ定数 $σ_n$ に等しく、かつ決して達成されないことを確立すること。

提案手法

• 領域 $Ω$ 内で滑らかで compact な台を持つ関数の閉包を用いて関数的設定を形式化し、混合作用素のための適切に定義されたエネルギー空間を保証すること。
• 混合ソボレフ不等式における最適定数 $σ_{n,s}(\Omega)$ が、$s$ や $\Omega$ に依存せず、古典的ソボレフ定数 $σ_n$ に等しいことを証明すること。
• ポホジャエフ型の恒等式を用いて、有界な星型領域において $λ \leq 0$ のとき正の解が存在しないことを示すこと。
• テスト関数 $t\eta_\varepsilon$ を用い、爆発的プロファイルをある点に集中させ、マウンテンパス定理を適用してエネルギー汎関数 $\mathcal{J}_{\lambda,p}$ を分析すること。
• 漸近展開を用いてエネルギー汎関数 $\mathcal{J}_{\lambda,p}(t\eta_\varepsilon)$ を推定し、$\varepsilon^{\kappa_{s,n}}$ と $\varepsilon^{\beta_{p,n}}$ を含む項を用い、指数の相対的大きさに基づいて場合分けすること。
• 臨界点 $t_{\varepsilon,\lambda}$ 及びその $\lambda \to \infty$ または $\varepsilon \to 0$ における挙動を分析することで、エネルギー汎関数の上界に関する一様な境界を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合順序ソボレフ不等式における最適定数は、古典的ソボレフ定数 $\mathcal{S}_n$ に等しいか？
• RQ2 混合ソボレフ不等式 $\mathcal{S}_{n,s}(\Omega)$ の最適定数は、領域 $\Omega$ や分数パラメータ $s$ に依存するか？
• RQ3 混合ソボレフ不等式の最小化子は存在可能か、すなわち最適定数は達成可能か？
• RQ4 摂動問題 $\mathcal{L}u = u^{2^*-1} + \lambda u^p$ が領域 $\Omega$ 内で正の解をもつ条件は何か？
• RQ5 パrameter $λ は、臨界以下の摂動問題における解の存在にどのように影響するか？

主な発見

• 混合順序ソボレフ不等式における最適定数は、正確に古典的ソボレフ定数に等しい：すべての $s \in (0,1)$ および任意の開集合 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ に対して $\mathcal{S}_{n,s}(\Omega) = \mathcal{S}_n$。
• 最適定数 $\mathcal{S}_{n,s}(\Omega)$ は決して達成されないため、関連する変分問題に対する最小化子は存在しない。
• $\lambda \leq 0$ のとき、任意の有界な星型領域 $\Omega$ において、摂動問題 $\mathcal{L}u = u^{2^*-1} + \lambda u^p$ に対して正の解は存在しない。
• $\lambda > 0$ かつ $p \in [1, 2^* - 1)$ のとき、マウンテンパス定理により摂動問題に対する非自明な解の存在が保証される。
• 十分に大きな $\lambda$ に対して、エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_{\lambda,p}(t\eta_\varepsilon)$ は $\frac{1}{n}(\mathcal{S}_n)^{n/2}$ で一様に上から抑えられ、臨界点の存在を保証する。
• 臨界点 $t_{\varepsilon,\lambda}$ の漸近的挙動は、指数 $\kappa_{s,n}$ と $\beta_{p,n}$ の相対的大きさに依存し、$\kappa_{s,n} \leq \beta_{p,n}$ のとき $\lambda \to \infty$ において $t_{\varepsilon,\lambda} \to 0$ となる。