[論文レビュー] A brief account of the Ising and Ising-like models: Mean-field, effective-field and exact results

Jozef Strečka, M. Jaščur|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Complex Network Analysis Techniques参考文献 4被引用数 44

ひとこと要約

本チュートリアルレビューでは、さまざまな格子系におけるイジング模型およびイジング型模型を解くための平均場理論、有効場理論、正確解法の体系的比較を行っている。平均場理論は三臨界点および量子相転移を捉えることができ、有効場理論はクラスタ近似を用いることで平均場理論の精度を向上させる。一方、転送行列法および双対性変換を用いた正確解法は、1次元および2次元格子系、特にアーチメデス型および装飾格子構造において、精密な臨界行動をもたらす。

ABSTRACT

The article provides a tutorial review on how to treat Ising models within mean-field (MF), effective-field (EF) and exact methods. MF solutions of the spin-1 Blume-Capel (BC) model and the mixed-spin Ising model demonstrate a change of continuous phase transitions to discontinuous ones at a tricritical point. A quantum phase transition of the spin-S Ising model driven by a transverse field is explored within MF method. EF theory is elaborated within a single- and two-spin cluster approach to demonstrate an efficiency of this approximate method. The long-standing problem of this method concerned with a self-consistent determination of the free energy is addressed. EF theory is adapted for the spin-1/2 Ising model, the spin-S BC model and the transverse Ising model. The particular attention is paid to continuous and discontinuous transitions. Exact results for the spin-1/2 Ising chain, spin-1 BC chain and mixed-spin Ising chain are obtained using the transfer-matrix method, the crucial steps of which are reviewed for a spin-1/2 Ising square lattice. Critical points of the spin-1/2 Ising model on several lattices are rigorously obtained with the help of dual, star-triangle and decoration-iteration transformations. Mapping transformations are adapted to obtain exact results for the mixed-spin Ising model on planar lattices. An increase in the coordination number of the mixed-spin Ising model on decorated planar lattices gives rise to reentrant transitions, while the critical temperature of the mixed-spin Ising model on a regular honeycomb lattice is always greater than that of two semi-regular archimedean lattices. The effect of selective site dilution of the mixed-spin Ising model on a honeycomb lattice upon phase diagrams is examined. The review affords a brief account of the Ising models solved within MF, EF and exact methods along with a few comments on their future applicability.

研究の動機と目的

• イジング模型およびイジング型模型に対する平均場理論、有効場理論、正確解法の教育的比較を提供すること。
• 特に三臨界点および相転移の予測における平均場理論の限界と改善点を明確にすること。
• 有効場理論における自己無撞着な自由エネルギーの決定という長年の問題に取り組むこと。
• 転送行列法および変換技術を用いて、さまざまな格子系におけるスピン1/2、スピン1、および混合スピンイジング模型の正確な臨界点および自発磁化を導出すること。
• 配位数およびサイト希釈が位相図に与える影響、特に再入位相転移の観点から検討すること。

提案手法

• スピン1/2イジング模型（縦磁場中）、スピン1ブルーム＝キャピル模型（縦磁場中）、混合スピンイジング模型（縦磁場中）、スピンSイジング模型（横磁場中）の4つのモデルに平均場理論を適用する。
• 自己無撞着な自由エネルギー推定に注力し、単一スピンおよび2スピンクラスタ近似を用いた有効場理論により、平均場理論の結果を改善する。
• カレン＝スズキ恒等式およびヴァン・ダー・ワーデン恒等式を用いて、近似された熱力学的量を導出する。
• 転送行列法を用いて、スピン1/2、スピン1、および混合スピンを有する1次元イジング鎖の正確解を得る。
• 双対性、スター・トライアングル、装飾反復変換を用いて、正方格子、ヘキサゴナル格子、三角格子、カゴメ格子、およびアーチメデス型格子上の2次元イジング模型の正確な臨界点を厳密に決定する。
• 写像変換を用いて、装飾格子および3次元格子上の混合スピンイジング模型の正確な臨界温度および自発磁化を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均場理論と有効場理論は、特に三臨界点付近において、イジング型模型の相転移をどのように予測するか？
• RQ2 装飾格子上の混合スピンイジング模型において、配位数が再入位相転移を誘発する役割を果たすか？
• RQ3 平面格子上のスピン1/2イジング模型について、正確解法と近似手法との間で、臨界温度および磁化の観点からどのように比較されるか？
• RQ4 有効場理論は、自己無撞着な自由エネルギー計算を体系的に拡張可能か？また、平均場理論の結果をどのように改善するか？
• RQ5 ヘキサゴナル格子上の混合スピンイジング模型における選択的サイト希釈の位相図に与える影響は何か？

主な発見

• 平均場理論は、スピン1ブルーム＝キャピル模型および混合スピンイジング模型において、連続的転移が不連続的になる三臨界点を正しく予測する。
• 2スピンクラスタを用いた有効場理論は、平均場理論よりも精度が高く、特に正しい臨界行動および相転移の順序を捉えることができる。
• 転送行列法による正確解法は、縦磁場中におけるスピン1/2、スピン1、および混合スピンイジング鎖の自発磁化および臨界温度を確認する。
• 双対性およびスター・トライアングル変換により、正方格子、ヘキサゴナル格子、三角格子、カゴメ格子上のスピン1/2イジング模型の正確な臨界温度が得られ、既知の正確値と一致する。
• 同じ配位数を有する正則なヘキサゴナル格子上の混合スピンイジング模型の臨界温度は、準正則なアーチメデス型格子上のものよりも高い。
• 装飾平面格子における配位数の増加は、混合スピンイジング模型において再入位相転移を引き起こすことが、正確な写像技術によって確認された。