[論文レビュー] A Brief History of Quaternions and of the Theory of Holomorphic Functions of Quaternionic Variables

Amy Buchmann|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2011

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ハミルトンが1843年10月16日に発見したクォータニオンの歴史的発展をたどり、三重項理論の失敗に至る経緯を明らかにする。その後、クォータニオン上での正則関数をスライス正則性によって定義する現代的アプローチを検討する。ここでスライス正則性とは、原点を通る各複素数スライス上で正則である関数を指す。主な貢献は、このスライス正則性条件を用いてクォータニオンの正則関数の整合的理論を確立したことであり、これによりクォータニオンにおける多項式やべき級数が正則的であることが可能になる。

ABSTRACT

In this paper I will give a brief history of the discovery (Hamilton, 1843) of quaternions. I will address the issue of why a theory of triplets (the original goal of Hamilton) could not be developed. Finally, I will discuss briefly the history of various attempts to define holomorphic functions on quaternionic variables.

研究の動機と目的

• クォータニオンの歴史的起源をたどること、特にハミルトンが1843年10月16日に発見した経緯と、三重項理論の失敗に至る経緯を明らかにすること。
• 三重項（三つの虚数単位）に類似した一貫した代数的構造を構築できない理由を説明すること。これにより四元数的次元の四元数への必要性が生じる。
• クォータニオンの文脈における正則関数理論の進化を検討し、現代のスライス正則関数の概念に至るまでの流れを明らかにすること。
• クォータニオンの定義域上での正則的挙動を定義することで、複素解析の非可換版の基礎を築くこと。

提案手法

• 歴史的記録と数学的定義を用いて、非可換代数的関係 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ を通じてハミルトンがクォータニオンに至った道筋を再構成する。
• スカラー部 $a$ と虚数部 $bi + cj + dk$ を持つ $q = a + bi + cj + dk$（$a,b,c,d \in \mathbb{R}$）として、$ \mathbb{H}$ を $ \mathbb{C}$ の非可換拡張として定義し、クォータニオン乗法則に従って乗法を定める。
• 三重項の代数的構造が一貫して構築できないことを分析することで、特に結合的および除法の性質を満たさないため、除法代数の性質を満たせないことを示す。
• スライス正則性の概念を導入する。関数 $f: \Omega \to \mathbb{H}$ がスライス正則であるとは、各複素数直線 $L_I = \mathbb{R} + \mathbb{R}I$ への制限が正則であることを意味する。
• 定義を適用して、収束する範囲で $aq^n$ のモノミアルおよび $\sum_{n=0}^\infty a_n q^n$ のべき級数がスライス正則であることを示す。
• 歴史的物語を基盤づけるために、ハミルトン自身の手紙を主たる史料として用い、発見プロセスにおける個人的な洞察を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ複素数に類似した性質を持つ三重項の代数的構造を一貫して構築することが不可能だったのか？
• RQ2 ハミルトンが三重項からクォータニオンへと移行した動機は何か？1843年10月16日の発見はどのようにして起こったのか？
• RQ3 非可換なクォータニオンの文脈において、正則関数の概念をどのように一般化できるか？
• RQ4 クォータニオン関数が意味的に正則と見なされるために満たすべき性質は何か？
• RQ5 複素解析の主要な特徴（解析的性、べき級数表現）を保つクォータニオン上での正則関数理論を構築できるか？

主な発見

• ハミルトンは、ダブリンのロイヤル・キャンアルを散歩中に1843年10月16日にクォータニオンを発見し、その基盤的恒等式 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ をブローハム・ブリッジに刻んだ。
• 三重項理論の失敗は、三つの虚数単位を持つ一貫した代数的構造が、特に結合的および除法の性質を満たせないためである。
• スライス正則性の概念は、各複素数スライス $L_I = \mathbb{R} + \mathbb{R}I$ で正則であることを要件とするため、クォータニオンへの正則関数の一般化として実用的である。
• クォータニオン係数をもつすべての多項式 $f(q) = \sum_{n=0}^n a_n q^n$ および収束するべき級数 $\sum_{n=0}^\infty a_n q^n$ はスライス正則である。
• スライス正則関数の理論は、すでに基礎的結果が確立されており、活発に発展している分野として有望である。クォータニオンの数学的発展は、現在も進化を続けている。
• ハミルトンの手紙は、発見の瞬間における情熱的で知的かつ内省的な体験を確認しており、家族との散歩中に「閃き」が訪れたことを示している。