[論文レビュー] A Brief Introduction to the Adomian Decomposition Method, with Applications in Astronomy and Astrophysics

M. K. Mak, Chun Sing Leung+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非線形常微分方程式および偏微分方程式を離散化や線形化なしに解く強力な解析的手法であるアドミアン分解法（ADM）について、教育的入門を提供する。本手法は、1階線形・ベルヌーイ・リッカティ・アーベル方程式、2階および5階の常微分方程式、およびフィッシャー＝コルモゴロフ方程式のような偏微分方程式において、解析的解と正確に一致することを示している。また、ケプラー方程式、ラン・エムデン方程式、およびシュバルツシルト方程式といった天文学的・物理学的問題への応用にも成功している。

ABSTRACT

The Adomian Decomposition Method (ADM) is a very effective approach for solving broad classes of nonlinear partial and ordinary differential equations, with important applications in different fields of applied mathematics, engineering, physics and biology. It is the goal of the present paper to provide a clear and pedagogical introduction to the Adomian Decomposition Method and to some of its applications. In particular, we focus our attention to a number of standard first-order ordinary differential equations (the linear, Bernoulli, Riccati, and Abel) with arbitrary coefficients, and present in detail the Adomian method for obtaining their solutions. In each case we compare the Adomian solution with the exact solution of some particular differential equations, and we show their complete equivalence. The second order and the fifth order ordinary differential equations are also considered. An important extension of the standard ADM, the Laplace-Adomian Decomposition Method is also introduced through the investigation of the solutions of a specific second order nonlinear differential equation. We also present the applications of the method to the Fisher-Kolmogorov second order partial nonlinear differential equation, which plays an important role in the description of many physical processes, as well as three important applications in astronomy and astrophysics, related to the determination of the solutions of the Kepler equation, of the Lane-Emden equation, and of the general relativistic equation describing the motion of massive particles in the spherically symmetric and static Schwarzschild geometry.

研究の動機と目的

• 本手法に馴染みのない研究者に向けて、アドミアン分解法（ADM）の明確で段階的な導入を提供すること。
• 広範な非線形常微分方程式および偏微分方程式の解法として、本手法の有効性を示すこと。
• 標準的な方程式におけるADM解と解析的解の完全一致を示すことにより、ADMの妥当性を検証すること。
• 高次数の常微分方程式への手法の拡張および収束性の向上のためのラプラス-アドミアン分解法の導入。
• 天文学および天体物理学における重要な方程式、特にケプラー方程式、ラン・エムデン方程式、および相対論的運動方程式へのADMの有効性を示すこと。

提案手法

• 非線形微分方程式の解を無限級数の関数の和に分解する。
• べき級数展開を用いて再帰的に計算されるアドミアン多項式を用いて、方程式内の非線形項を表現する。
• 線形作用素とアドミアン多項式を用いて、級数解の各項を再帰的アルゴリズムで計算する。
• ラプラス-アドミアン変種では、ADMを適用する前に方程式にラプラス変換を適用し、収束性を向上させる。
• 線形化や摂動法を用いずに、級数の項を反復的に計算し、収束に達するまで続ける。
• ベンチマーク方程式の既知の正確解と比較することで、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アドミアン分解法は、標準的な非線形1階常微分方程式に対して正確または高精度な解析的解を生成できるか？
• RQ2 ADMは、2階および5階の非線形常微分方程式を解く際に、どのように性能を発揮するか？
• RQ3 ラプラス-アドミアン分解法は、非線形2階常微分方程式の収束性と精度を向上させることができるか？
• RQ4 ADMは、フィッシャー＝コルモゴロフ方程式のような物理的意味を持つ偏微分方程式に、どの程度適用可能か？
• RQ5 ADMは、ケプラー方程式、ラン・エムデン方程式、およびシュバルツシルト幾何学における相対論的運動方程式といった天体物理学の基本的方程式を効果的に解けるか？

主な発見

• 微分方程式 $ \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^3 $ に対するADM解は、解析的解と完全に一致しており、本手法の正確性が裏付けられている。
• ベルヌーイ方程式 $ \frac{dy}{dx} - 2xy = -4x^3 y^2 $ に対してADMは収束する級数解を生成し、正確な解に一致している。
• リッカティ方程式 $ \frac{dy}{dx} = 2e^x - e^{-x} y^2 $ に対するADM解は、既知の解析的解と同一であることが示された。
• アーベル方程式 $ \frac{dy}{dx} = x + 3xy + 3xy^2 + xy^3 $ に対するADM解は正確な解と一致しており、高次非線形性への適用可能性が確認された。
• 2階常微分方程式 $ \frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3 $ に対し、ADMは収束する級数解を提供し、正確な解に一致している。
• 本手法は5階常微分方程式 $ \frac{d^5y}{dx^5} - 3\frac{d^4y}{dx^4} - 5\frac{d^3y}{dx^3} + 15\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} - 12y = 0 $ に対しても拡張され、収束する級数解が得られた。
• ラプラス-アドミアン分解法は、非線形2階常微分方程式を効果的に解き、収束速度が向上した。
• ADMは初期条件 $ c(0,x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 $ を持つフィッシャー＝コルモゴロフ偏微分方程式に対し、解析的解を提供し、非線形偏微分方程式への応用の有効性を示した。
• ケプラー方程式、ラン・エムデン方程式、およびシュバルツシルト幾何学における相対論的運動方程式に対し、ADMは高精度な解を提供しており、天体物理学的モデリングにおける価値が確認された。