[論文レビュー] A Brief Survey of FJRW Theory

Tyler J. Jarvis, Amanda Francis|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 42被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、準同次多項式および対称性群に関連する、FJRW理論の包括的サーベイを提供する。FJRW理論は、Landau-Ginzburg鏡対称性およびLandau-Ginzburg/Calabi-Yau対応との関係を確立する。FJRWインバリアントがシンプレクティック変換および解析接続を経て、Calabi-Yau商のGromov-Wittenインバリアントと一致することを示し、特に楕円曲線や超曲面を含む特定のケースについて、生成番0およびすべての生成番で検証されている。

ABSTRACT

In this paper we describe some of the constructions of FJRW theory. We also briefly describe its relation to Saito-Givental theory via Landau-Ginzburg mirror symmetry and its relation to Gromov-Witten theory via the Landau-Ginzburg/Calabi-Yau correspondence. We conclude with a discussion of some of the recent results in the field.

研究の動機と目的

• Landau-Ginzburg Aモデルのコホモロジー的場の理論（CohFT）としてのFJRW理論の要約を提供すること。
• Landau-Ginzburg鏡対称性を介して、FJRW理論とSaito-Givental理論との関係を明確にすること。
• FJRWインバリアントとCalabi-Yau商のオルビフォールドGromov-Wittenインバリアントを結ぶ、Landau-Ginzburg/Calabi-Yau対応を説明すること。
• Gauged Linear Sigma Model（GLSM）の数学的定式化における最近の発展を議論し、FJRW理論を完全交差やトーリック多様体へ一般化すること。
• 高スピン曲線のFJRW理論を用いて、安定曲線のモジュライ空間上のコホモロジー的関係を同定すること。

提案手法

• 非退化な準同次多項式Wとその対称性群であるアーベル群Gから、FJRW理論をコホモロジー的場の理論（CohFT）として構成する。
• 状態空間H_{W,G}を、WとGによるオルビフォールドのコホモロジーとし、非退化なペアリングと単位元を持つ。
• 狭いセクターには、余次元局所化を用いた仮想サイクル構成を適用し、広いセクターには解析的手法を用いる。
• シンプレクティック変換および解析接続を用いて、FJRW汎関数とオルビフォールドGromov-Witten汎関数を一致させる。
• Gauged Witten方程式と安定準マップを用いて、GLSMによるFJRW理論の一般化を実行する。
• CLL13, KL13, CL12の結果を応用し、狭い場合に仮想サイクルを代数的に構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FJRW理論は、Landau-Ginzburg鏡対称性を通じて、Saito-Givental理論とどのように関係するか？
• RQ2 Landau-Ginzburg/Calabi-Yau対応は、FJRWインバリアントとCalabi-Yau商のGromov-Wittenインバリアントをどの意味で等価にするのか？
• RQ3 LG/CY対応は、超曲面を超えて完全交差やトーリック多様体へ拡張可能か？
• RQ4 高スピン曲線のFJRWインバリアントは、安定曲線のモジュライ空間上に新しいタウトロジカル関係をどのように生成するか？
• RQ5 Gauged Linear Sigma Modelの数学的実現とは何か？また、FJRW理論とGromov-Witten理論を統合する仕組みは何か？

主な発見

• すべてのWについて∑q_i = 1であり、すべての適切なGについて、FJRW状態空間H_{W,G}は、Chen-RuanコホモロジーH^*_{CR}([X_W / ilde{G}])と一致する。狭いセクターは、環境コホモロジーに対応する。
• Fermatの5次超曲面（自明群）および鏡像5次超曲面（(Z/5)^3）について、生成番0でLG/CY対応が成立する。任意のFermat多項式と任意の適切な群に対しても成立する。
• 楕円曲線とG = G_maxの場合、すべての生成番で対応が検証され、非自明なケースで予想が裏付けられた。
• Fanoおよび一般型超曲面については、Acosta [Aco14]が、解析接続の代わりに漸近的展開を用いて対応を一般化した。
• FJR15aで提示されたGLSM構成は、FJRW理論と安定準マップを統合し、CladerのハイブリッドモデルおよびChang-Liのp-場を特別な場合として回復する。
• 狭いセクターの仮想サイクルは、余次元局所化により代数的に構成可能であるが、広いセクターには解析的手法が必要である。これはFJR15bおよびTX14で示された。