[論文レビュー] A Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications

James Ferguson|ArXiv.org|Feb 23, 2004

History and Theory of Mathematics参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、古代ギリシャの数学からルネサンス期の物理学、19世紀・20世紀の厳密化および現代の応用に至るまで、変分法の歴史的発展を包括的に調査している。物理的問題が数学的進展を駆り立てたことが強調されており、ヒルベルトによるディリクレ問題への貢献と最適制御理論の登場を頂点とし、さまざまな科学的・工学的分野に応用が広がっている。

ABSTRACT

In this paper, we trace the development of the theory of the calculus of variations. From its roots in the work of Greek thinkers and continuing through to the Renaissance, we see that advances in physics serve as a catalyst for developments in the mathematical theory. From the 18th century onwards, the task of establishing a rigourous framework of the calculus of variations is studied, culminating in Hilbert's work on the Dirichlet problem and the development of optimal control theory. Finally, we make a brief tour of some applications of the theory to diverse problems.

研究の動機と目的

• 変分法の歴史的発展を、古代ギリシャの数学にルーツをさかのぼり、現代の応用に至るまでたどること。
• 物理的問題が変分法における理論的発展を促進した役割を検討すること。
• 18世紀に変分法に厳密な基礎を確立しようとした試みを分析すること。
• ヒルベルトによるディリクレ問題への貢献と最適制御理論の登場が、変分法の形式的整備に与えた影響を文書化すること。
• 変分法が多様な科学的・工学的分野に広く応用可能であることを図例を通じて示すこと。

提案手法

• 17世紀以降の主要な歴史的資料および重要な数学的発展をサーベイすること。
• 物理的問題（例：最小曲面、最速降下曲線）と数学的形式化の相互作用を分析すること。
• 力学における変分原理から、抽象的な関数解析および偏微分方程式への移行をたどること。
• ヒルベルトによるディリクレ問題への貢献が、現代の変分理論の基盤をなしたことを検証すること。
• 古典的変分法の自然な拡張としての最適制御理論の発展をレビューすること。
• 物理学、工学、幾何学からの選択的応用例を通じて、応用の広がりを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分法は古代ギリシャの数学にどのように起源を持ち、ルネサンス期にどのように発展したか。
• RQ2 最速降下曲線や最小曲面問題といった物理的問題が、変分理論の発展にどのような形で寄与したか。
• RQ3 18世紀において、変分法に厳密な基礎を確立しようとした際の主な課題は何か。
• RQ4 ヒルベルトによるディリクレ問題への取り組みが、変分法の形式化にどのように寄与したか。
• RQ5 科学および工学分野における変分法の主な現代的応用は何か。

主な発見

• 変分法は古代ギリシャの幾何学にルーツを持ち、特に最小・最大の性質に関する問題に端を発する。
• 17世紀および18世紀には、物理的直観に基づいた基礎的問題（例：最速降下曲線、懸垂線）が提示された。
• 18世紀には、オイラーとラグランジュによるオイラー＝ラグランジュ方程式の研究を通じて、変分原理の形式化が進んだ。
• 19世紀には、変分法の厳密化が試みられ、ヒルベルトによるディリクレ問題の解決が頂点に達した。
• ヒルベルトの業績は、現代の関数解析および偏微分方程式論の基盤を築いた。
• 20世紀には、古典的変分法の主要な拡張として最適制御理論が登場し、工学および物理学分野に広範な応用がなされた。