[論文レビュー] A Brunn-Minkowski type inequality for Fano manifolds and the Bando-Mabuchi uniqueness theorem

Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 64

ひとこと要約

この論文は、Fano多様体に対して、−K_X 上の正の曲率接続の空間における有界測地線に沿って、体積関数 functional ∫_X e^{-φ} の対数が凹であることを示すことによって、Brunn-Minkowski型の不等式を確立する。これは、測地線が正則ベクトル場の流れに由来しない限り、厳密に凹である。その結果、Kähler–Einstein計量のBando-Mabuchi一意性定理の簡略化された証明が得られ、Fano多様体でないより弱い曲率仮定のもとで、ねじれKähler–Einstein計量へと結果が拡張される。

ABSTRACT

For $ϕ$ a metric on the anticanonical bundle, $-K_X$, of a Fano manifold $X$ we consider the volume of $X$ $$ \int_X e^{-ϕ}. $$ We prove that the logarithm of the volume is concave along continuous geodesics in the space of positively curved metrics on $-K_X$ and that the concavity is strict unless the geodesic comes from the flow of a holomorphic vector field on $X$. As consequences we get a simplified proof of the Bando-Mabuchi uniqueness theorem for Kähler - Einstein metrics and a generalization of this theorem to 'twisted' Kähler-Einstein metrics.

研究の動機と目的

• Fano多様体に対して、反 canonical bundle 上の計量の対数体積関数 functional を用いたBrunn-Minkowski型不等式を確立すること。
• −K_X 上の正の曲率計量の空間における有界測地線に沿って、対数体積関数が凹であることを証明し、測地線が正則ベクトル場の流れに由来しない限り厳密に凹であること。
• この凹性結果を応用して、Fano多様体上のKähler–Einstein計量のBando-Mabuchi一意性定理の簡略化された証明を与えること。
• Fano多様体でないが、より弱い曲率仮定を満たす多様体に対し、一意性結果をねじれKähler–Einstein計量へと拡張すること。
• Kähler–Einstein計量が自己同型の意味で一意的、または絶対的に一意的であるための幾何学的・コhomologicalな条件を同定すること。

提案手法

• Fano多様体 X 上の反 canonical bundle −K_X 上の計量 φ に対して、体積関数 functional ∫_X e^{-φ} を用いる。
• Chenの定理を適用し、ℂ 内の帯状領域で定義された同次Monge–Ampère方程式 (i∂∂̄φ)^{n+1} = 0 の有界測地線解の存在を保証する。
• L = −K_X とおくとき、線束 E = H^0(X, K_X + L) の曲率を L^2 計量と曲率公式 c(φ) = ∂²φ/∂t∂t̄ − |∂̄(∂φ/∂t)|²_{i∂∂̄_X φ} を用いて分析する。
• 曲率の正性から F(t) = −log∫_X e^{-φ_t} の下調和性を示し、φ_t が Im(t) に依存しないときの凸性を導く。
• ∂̄-閉 (n−1,0)-形式と ∂̄-ラプラシアンを用いた複素勾配構成により、曲率と正則ベクトル場の存在を関連付ける。
• H^1(X, K_X + L) = 0 および H^0(X, K_X + L) ≠ 0 というコhomologicalな消滅と非消滅条件を用いて、ねじれKähler–Einstein方程式の解の一意性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fano多様体において、−K_X 上の正の曲率計量の空間における測地線に沿って、対数体積関数は凹であるか？
• RQ2 この凹性が厳密である条件は何か？ そして、それは測地線の幾何にどのような意味を持つのか？
• RQ3 この凹性結果を用いて、Kähler–Einstein計量のBando-Mabuchi一意性定理を簡略化または再証明できるか？
• RQ4 Fano多様体でないが、より弱い曲率仮定を満たす多様体に対し、この一意性結果をどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 ねじれKähler–Einstein方程式の解が、恒等自己同型の意味で絶対的に一意的であるための、コhomological的または幾何学的条件は何か？

主な発見

• −K_X 上の正の曲率計量の空間における有界測地線に沿って、体積 ∫_X e^{-φ_t} の対数は凹である。
• 測地線が正則ベクトル場の流れに由来しない限り、この凹性は厳密である。
• この凹性結果により、Fano多様体上のKähler–Einstein計量のBando-Mabuchi一意性定理の簡略化された証明が得られる。
• ねじれKähler–Einstein計量に対しても、曲率形式 θ が単純な正規交差を持つklt divisor Δ によって表されるとき、一意性結果が拡張される。
• ある m に対して H^1(X, K_X + mS) = 0 かつ H^0(X, K_X + mS) ≠ 0 であるようなコhomologicalな条件のもとで、θ > 0 のとき、ねじれKähler–Einstein方程式の解は恒等自己同型の意味で一意的である。
• 正則ベクトル場を特徴づける新しい条件 V⌋∂∂̄φ = 0 が与えられ、適切なコhomological消滅の下では、この条件から V = 0 を導ける。