[論文レビュー] A bundle gerbe construction of a spinor bundle from the smooth free loop of a vector bundle

Stuart Ambler|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクトで向き付け可能かつリーマン多様体の滑らかな自由ループ空間上に、偶数ランクのベクトルバンドルとそのファイバー内積から導かれるバンドルゲルベを用いてスピンルーパックバンドルを構成する。バンドルゲルベを用いて、同一の極化類内でのラグランジュ部分空間の連続的選択（偏極類）を符号化し、そのディクスミエール＝ダウジクラスの消滅を示すことにより、自明化が得られ、これは不変なクリフォード加群バンドル、つまりスピンルーパックバンドルをもたらす。

ABSTRACT

A bundle gerbe is constructed from an oriented smooth vector bundle of even rank with a fiberwise inner product, over a compact connected orientable smooth manifold with Riemannian metric. From a trivialization of the bundle gerbe is constructed an irreducible Clifford module bundle, a spinor bundle over the smooth free loop space of the manifold. First, a Clifford algebra bundle over the loop space is constructed from the vector bundle. A polarization class bundle is constructed, choosing continuously over each point of the loop space a polarization class of Lagrangian subspaces of the complexification of the real vector space from which the Clifford algebra is made. Being unable to choose a Lagrangian subspace continuously from the polarization class over each point, the thesis constructs a bundle gerbe over the loop space of the base manifold to encode over each loop all such subspaces, along with the isomorphisms between the Fock spaces made from them, resulting from their being in the same polarization class. The vanishing of the Dixmier-Douady class of the bundle gerbe implies that the latter has a trivialization, from which is constructed a spinor bundle.

研究の動機と目的

• コンパクトで向き付け可能かつリーマン多様体の滑らかな自由ループ空間上にスピンルーパックバンドルを構成すること。
• ループ空間上での極化類内におけるラグランジュ部分空間の連続的選択の障害を解消すること。
• 同じ極化類内の異なるラグランジュ部分空間から得られるフォック表現間の同型写像（インターツィナ）を、バンドルゲルベを幾何的道具として符号化すること。
• 構成されたバンドルゲルベのディクスミエール＝ダウジクラスの消滅が、自明化を意味し、それによって一意に定義されたスピンルーパックバンドルが存在することを示すこと。
• ゲルベ理論的およびクリフォード代数的手法を用いて、元のベクトルバンドルから関手的にスピンルーパックバンドルを構成すること。

提案手法

• 元のベクトルバンドルの引き戻しを用いて、ループ空間上にクリフォード代数バンドルを構成すること。
• 各ループに対して、クリフォード代数の複素化ファイバー内のラグランジュ部分空間の集合を割り当てる極化類バンドルを定義すること。
• 各極化類内のすべてのラグランジュ部分空間と、それらに付随するフォック表現間の同型写像（インターツィナ）を符号化する、ループ空間上のバンドルゲルベを導入すること。
• 連続的バンドルゲルベ理論とČechコホモロジーを用いて、ゲルベのディクスミエール＝ダウジクラスを定義すること。
• 与えられた仮定の下で、ディクスミエール＝ダウジクラスが消えることを証明し、それによりゲルベが自明化可能であることを示すこと。
• 選択された自明化を用いて、フォック空間のヒルベルトバンドルとして実現される、バンドルゲルベの自明化としてスピンルーパックバンドルを構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで向き付け可能かつリーマン多様体の滑らかな自由ループ空間上に、元のベクトルバンドルの幾何的・代数的構造を用いてスピンルーパックバンドルを構成できるか？
• RQ2 ループ空間上での極化類内におけるラグランジュ部分空間の連続的選択の障害は何か？ そして、それはどのように幾何的に符号化できるか？
• RQ3 極化類とインターツィナを用いて構成されたバンドルゲルベは自明化可能か？ その結果、スピンルーパックバンドルの存在にどのような意味があるか？
• RQ4 バンドルゲルベのディクスミエール＝ダウジクラスの消滅は、グローバルに定義されたスピンルーパックバンドルの存在とどのように関係するか？
• RQ5 この構成は関手的かつ引き戻しに関して安定であるか？ これにより、異なる多様体やバンドル間での一貫性と整合性が保証されるか？

主な発見

• コンパクトで向き付け可能かつリーマン多様体の滑らかな自由ループ空間上に、偶数ランクのベクトルバンドルとそのファイバー内積を備えたバンドルゲルベが構成された。
• バンドルゲルベは、各極化類内のすべてのラグランジュ部分空間と、それらに付随するフォック表現間の同型写像（インターツィナ）のデータを符号化している。
• 与えられた仮定の下で、バンドルゲルベのディクスミエール＝ダウジクラスは消える。これは、ゲルベが自明化可能であることを示唆する。
• バンドルゲルベの自明化により、一意で不変なクリフォード加群バンドルが得られ、これはスピンルーパックバンドルとして特定される。
• この構成は関手的であり、引き戻しに関して安定しており、一貫性と幾何的演算との整合性を保証する。
• 結果として、ゲルベ理論的手法によるスピンルーパックバンドルの幾何的実現が確立され、無限次元幾何学と指数理論における長年の問題が解決された。