[論文レビュー] A C-system defined by a universe category

Vladimir Voevodsky|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ファイナルオブジェクトを備えた、射 $p: \widetilde{U} \to U$ を持つ圏 $\mathcal{C}$ として定義されるユニバース圏から、Cシステム $CC(\mathcal{C}, p)$ の構成を提示する。ユニバース圏関手を定義し、それらがCシステムの準同型を誘導することを示し、同値関手はCシステムの同型を誘導する。主な貢献は、同値関手を尊重するカテゴリーレベルのデータからCシステムを標準的に構成する方法であり、任意の与えられたCシステムから、3つの明示的なユニバース圏およびそれらからの同型写像を構成する。

ABSTRACT

This is a major update of the previous version. The methods of the paper are now fully constructive and the style is "formalization ready" with the emphasis on the possibility of formalization both in type theory and in constructive set theory without the axiom of choice. This is the third paper in a series started in 1406.7413. In it we construct a C-system $CC({\cal C},p)$ starting from a category $\cal C$ together with a morphism $p:\widetilde{U} ightarrow U$, a choice of pull-back squares based on $p$ for all morphisms to $U$ and a choice of a final object of $\cal C$. Such a quadruple is called a universe category. We then define universe category functors and construct homomorphisms of C-systems $CC({\cal C},p)$ defined by universe category functors. As a corollary of this construction and its properties we show that the C-systems corresponding to different choices of pull-backs and final objects are constructively isomorphic. In the second part of the paper we provide for any C-system CC three constructions of pairs $(({\cal C},p),H)$ where $({\cal C},p)$ is a universe category and $H:CC ightarrow CC({\cal C},p)$ is an isomorphism. In the third part we define, using the constructions of the previous parts, for any category $C$ with a final object and fiber products a C-system $CC(C)$ and an equivalence $(J^*,J_*):C ightarrow CC$.

研究の動機と目的

• ユニバース圏、すなわち射 $p: \widetilde{U} \to U$ を持ち、$p$ 上の引き戻しを選び、ファイナルオブジェクトを備えた圏 $\mathcal{C}$ からCシステム $CC(\mathcal{C}, p)$ を定義すること。
• ユニバース圏関手を定義し、それらがCシステムの準同型を誘導することを示し、圏の同値関手がCシステムの同型を誘導することを示すこと。
• 逆問題を解くこと：任意の与えられたCシステム $CC$ に対して、ユニバース圏 $({\mathcal{C}}, p)$ と同型写像 $CC \to CC({\mathcal{C}}, p)$ を構成すること。3つの異なる構成法を提供する。

提案手法

• 射 $p: \widetilde{U} \to U$ に、$U$ へのすべての射の引き戻しの正方形を選び、ファイナルオブジェクトと組み合わせることで、ユニバース圏を構成する。
• Cシステム $CC(\mathcal{C}, p)$ を、$U$ への射に沿った反復的引き戻しとしての対象、および整合性のある写像の族としての射として定義する。
• ユニバース圏間の関手を定義し、引き戻しとヤオド型の構成を用いて、関連するCシステム間の関手を誘導することを示す。
• ヤオド埋め込みと完全かつ忠実な関手 $int$ を用い、$\mathcal{C}$ を $PreShv(\mathcal{C})$ に関連づけ、適切な射 $p_{\mathcal{C}}$ を持つ $PreShv(\mathcal{C})$ からCシステムを構成する。
• 逆問題の3つの異なる解法を構成する：与えられたCシステム $CC$ に対して、ユニバース圏 $({\mathcal{C}}, p)$ と同型写像 $CC \to CC({\mathcal{C}}, p)$ を構成し、それぞれが異なる構造的利点を持つようにする。
• 関手 $J^*$ と $J_*$ が完全かつ忠実であり、互いに準逆関手の関係にあり、自然同型 $J_* \circ J^* \cong \text{id}$ および $\text{id} \cong J^* \circ J_*$ を与えることを証明する。これにより、同型が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圏 $\mathcal{C}$ に射 $p: \widetilde{U} \to U$、$p$ 上の引き戻し、およびファイナルオブジェクトが与えられたとき、どのようにしてCシステムを標準的に構成できるか？
• RQ2 ユニバース圏関手が、関連するCシステムの間で同型を誘導するのはどのような条件下か？
• RQ3 任意の与えられたCシステム $CC$ は、あるユニバース圏 $({\mathcal{C}}, p)$ に対して $CC(\mathcal{C}, p)$ として実現可能か？もし可能であれば、そのような実現はいくつ存在するか？
• RQ4 圏 $\mathcal{C}$ におけるファイナルオブジェクトおよび引き戻し構造の選択と、得られるCシステム $CC(\mathcal{C}, p)$ の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 ユニバース圏の集まりに2-圏的構造が存在し、それがCシステムの1-圏への関手を誘導するか？

主な発見

• $CC(\mathcal{C}, p)$ の構成は、ファイナルオブジェクトの選択や引き戻しの正方形の選択に依存せず、同型を除いて不変であるため、$CC(\mathcal{C}, p)$ という表記が正当化される。
• 圏の同値関手であり、$p$ を同型を除いて保存するユニバース圏関手は、関連するCシステムの同型を誘導する。
• 任意のCシステム $CC$ に対して、3つの異なる構造的利点を持つ、ユニバース圏 $({\mathcal{C}}, p)$ と同型写像 $CC \to CC({\mathcal{C}}, p)$ の構成が提供される。
• $J^*: \mathcal{C} \to CC(\mathcal{C})$ と $J_*: CC(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}$ は完全かつ忠実であり、互いに準逆関手の関係にあり、自然同型 $J_* \circ J^* \cong \text{id}$ および $\text{id} \cong J^* \circ J_*$ を与える。
• $CC(\mathcal{C}, p)$ の構成は関手的であり、圏の同値関手を尊重する。これは、同値関手を同型に変換するカテゴリーレベルのデータからCシステムを構成する唯一の既知の方法である。
• 逆問題には複数の解法が存在し、$J^*$ がファイナルオブジェクトの選択に依存すること、$J_*$ が引き戻しの選択に依存することを明示的に示しているが、得られるCシステムは同型である。