[論文レビュー] A Calabi-Yau algebra with $E_6$ symmetry and the Clebsch-Gordan series of $sl(3)$

Nicolas Crampé, Loïc Poulain d’Andecy+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$E_6$ 対称性をもつ三生成子からなる Calabi-Yau 代数 $τ$ を導入し、$U(sl(3))^{⊗ 2}$ 内の $U(sl(3))$ の対角埋め込みの中心化子 $Z_2(sl(3))$ へ全射であることを示している。主な結果として、この代数の関係式と中心的元が、Clebsch-Gordan 系列における最高重量表現に特殊化されたとき、$E_6$ ワイル群の対称性が明示的に現れ、その係数と不変量が $E_6$ 基本多項式で表されることを示している。

ABSTRACT

Building on classical invariant theory, it is observed that the polarised traces generate the centraliser $Z_L(sl(N))$ of the diagonal embedding of $U(sl(N))$ in $U(sl(N))^{\otimes L}$. The paper then focuses on $sl(3)$ and the case $L=2$. A Calabi--Yau algebra $\mathcal{A}$ with three generators is introduced and explicitly shown to possess a PBW basis and a certain central element. It is seen that $Z_2(sl(3))$ is isomorphic to a quotient of the algebra $\mathcal{A}$ by a single explicit relation fixing the value of the central element. Upon concentrating on three highest weight representations occurring in the Clebsch--Gordan series of $U(sl(3))$, a specialisation of $\mathcal{A}$ arises, involving the pairs of numbers characterising the three highest weights. In this realisation in $U(sl(3))\otimes U(sl(3))$, the coefficients in the defining relations and the value of the central element have degrees that correspond to the fundamental degrees of the Weyl group of type $E_6$. With the correct association between the six parameters of the representations and some roots of $E_6$, the symmetry under the full Weyl group of type $E_6$ is made manifest. The coefficients of the relations and the value of the central element in the realisation in $U(sl(3))\otimes U(sl(3))$ are expressed in terms of the fundamental invariant polynomials associated to $E_6$. It is also shown that the relations of the algebra $\mathcal{A}$ can be realised with Heun type operators in the Racah or Hahn algebra.

研究の動機と目的

• 三生成子からなる Calabi-Yau 代数 $τ^{gen}$ を構成し、$U(sl(3))^{⊗ 2}$ 内の $U(sl(3))$ の対角埋め込みの中心化子の構造を捉えること。
• 中心化子 $Z_2(sl(3))$ が、中心的元を固定する単一の関係式によってこの代数の商として同型であることを示すこと。
• Clebsch-Gordan 系列における三つの最高重量表現への代数の特殊化が、$E_6$ ワイル群の対称性を示すこと。
• 定義関係式の係数および中心的元を $E_6$ の基本不変多項式の形で表現すること。
• Racah もしくは Hahn 代数の枠組みにおいて、Heun 型演算子を用いて代数の関係式を実現すること。

提案手法

• 代数 $τ^{gen}$ は PBW 基底と中心的元によって定義され、$U(sl(3))^{⊗ 2}$ 内の極化トレースから関係式が導かれる。
• 中心化子 $Z_2(sl(3))$ は、$τ$ から $Z_2(sl(3))$ への全単射な準同型の像として特定され、中心的元を特定する単一の関係式によって核が定義される。
• $sl(3)$ の三つの既約表現を用いて、$Z_2(sl(3))$ の最高重量特殊化が構成され、パラメータは $E_6$ の根と関連づけられる。
• $E_6$ のワイル群は、最高重量のパラメータに反射表現を介して作用し、対称性が明示的になる。
• $τ^{gen}$ の定義関係式は、Heun–Racah 演算子の形で実現され、付録 A に明示的なパラメータ化が示されている。
• 関係式の係数および中心的元は、$E_6$ の基本不変多項式を用いて表現され、$E_6$ の基本不変量の次数と一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三生成子からなる $E_6$ 対称性をもつ Calabi-Yau 代数を、$U(sl(3))^{⊗ 2}$ 内の $U(sl(3))$ の中心化子の構造を捉えるように構成できるか？
• RQ2 この代数の定義関係式の係数および中心的元の値は、$E_6$ ワイル群の基本次数に対応するか？
• RQ3 $sl(3)$ の最高重量のパラメータ化を通じて、$U(sl(3)) ⊗ U(sl(3))$ 内の代数の実現において $E_6$ 対称性が明示的になるか？
• RQ4 代数の関係式は、Racah もしくは Hahn 代数の枠組みにおける Heun 型演算子を用いて実現可能か？
• RQ5 係数および中心的元は、$E_6$ の基本不変多項式の形で表現可能か？

主な発見

• 三生成子からなる Calabi-Yau 代数 $τ$ は PBW 基底と中心的元をもち、$U(sl(3))^{⊗ 2}$ 内の $U(sl(3))$ の対角埋め込みの中心化子 $Z_2(sl(3))$ へ全射である。
• $τ$ から $Z_2(sl(3))$ への全射の核は、中心的元を特定値に固定する単一の関係式によって生成される。
• Clebsch-Gordan 系列における三つの最高重量表現に特殊化されたとき、代数 $τ$ は型 $E_6$ の完全ワイル群の不変性を示す。
• 最高重量のパラメータは $E_6$ の根と特定され、$E_6$ 対称性は標準的反射表現を介して作用する。
• 定義関係式の係数および中心的元の値は、$E_6$ ワイル群の基本次数（2, 5, 6, 8, 9, 12）と一致する。
• $τ^{gen}$ の関係式は Heun–Racah 演算子を用いて実現可能であり、付録 A に $z_i$, $e_i$, $d$ を用いた明示的パラメータ化が示されている。