[論文レビュー] A Calabi-Yau threefold with Brauer group (Z/8Z)^2

Mark Gross, Simone Pavanelli|ArXiv.org|Dec 9, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{P}^7$ 内の $\rho$-不変な完全交差として、Calabi-Yau 3次元多様体 $V^{1}_{8,y}$ を構成し、64個の通常の二重点を解消することで、単連結な3次元多様体が得られる。この多様体は $\mathbb{P}^1$ 上のファイブレーションを持ち、一般ファイバーは $(1,8)$-極化アーベル曲面である。ファイブレーションの Néron モデル構造とモノドロミー不変コホモロジー類を用いて、$H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ の torsion 部分群を計算し、それが $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ に同型であることを証明した。これにより、このブラウアー群構造を持つ非単連結な鏡像 Calabi-Yau 3次元多様体の最初の既知の例が確立された。

ABSTRACT

We calculate the Brauer group of a certain Calabi-Yau threefold discovered by Mark Gross and Sorin Popescu, which is a small resolution of a complete intersection of type (2,2,2,2) with 64 ordinary double points. We find the Brauer group is (Z/8Z)^2, which is the largest known example of a Brauer group of a Calabi-Yau threefold.

研究の動機と目的

• 非自明なブラウアー群、特に $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ を持つ Calabi-Yau 3次元多様体を構成し、鏡像対称性とねじれた導来圏におけるギャップを埋める。
• 一般ファイバーが $(1,8)$-極化アーベル曲面である $\mathbb{P}^1$ 上のファイブレーションの Néron モデル構造を用いて、$H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ のねじれコホモロジーを解消する。
• $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ のねじれ部分群が $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ に同型であることを、8-ねじれセクションが特異曲線に作用する様子により確認する。
• ストロミンジャーやウー＝ザスローフの予想に整合する非単連結な鏡像 Calabi-Yau 3次元多様体の証拠を提供する。

提案手法

• 8次で $\mathbb{H}_8$-不変な多項式 $f$ を用い、$f = \sigma(f) = \sigma^2(f) = \sigma^3(f) = 0$ で定義される $V_{8,y} \subset \mathbb{P}^7$ を構成する。
• 64個の通常の二重点を小解消 $\mu: V^{1}_{8,y} \to V_{8,y}$ で解消し、$h^{1,1} = h^{1,2} = 2$ を満たす滑らかで単連結な Calabi-Yau 3次元多様体が得られる。
• $\mathbb{P}^1$ 上のファイブレーション $\pi: V^{1}_{8,y} \to \mathbb{P}^1$ を解析し、一般ファイバーが $(1,8)$-極化アーベル曲面であることを示し、$\pi^\# = \pi|_{V^{1,\#}_{8,y}}$ が Néron モデルであることを示す。よって、これは群スキームである。
• Leray のスペクトル系列とモノドロミー不変性を用いて $H^0(B, R^3\pi_*\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})$ を計算し、$T^{1,3}$ すなわち $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ の $(1,3)$-成分と同定する。
• $G \cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ を 8-ねじれセクションのなす群とし、$\alpha \mapsto \log\alpha^*([e_0])$ で定義される群準同型 $\varphi: G \to H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ を定義する。
• $\varphi$ が $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ のねじれ部分群に同型に写すことにより、$Tors(H^4) \cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウアー群が $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ に同型である、単連結で非特異な Calabi-Yau 3次元多様体は存在するか？
• RQ2 アーベル曲面ファイバーを持つファイブレーションの Néron モデル構造を用いて、Calabi-Yau 3次元多様体のねじれコホモロジーを計算できるか？
• RQ3 Calabi-Yau 3次元多様体のブラウラー群は、ファイブレーションのモーデル＝ワイエルストラス群のねじれと関係があるか？
• RQ4 ストロミンジャーやウー＝ザスローフの予想が示唆するように、非自明なブラウラー群を持つ Calabi-Yau 3次元多様体の鏡像が非単連結である可能性はあるか？
• RQ5 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ のブラウラー群の存在は、鏡像の普遍被覆が元の3次元多様体であることを示唆するか？

主な発見

• Calabi-Yau 3次元多様体 $V^{1}_{8,y}$ は $\mathbb{P}^7$ 内の完全交差として小解消により構成され、64個の通常の二重点が解消され、滑らかで単連結である。
• $\pi: V^{1}_{8,y} \to \mathbb{P}^1$ のファイブレーションは一般ファイバーが $(1,8)$-極化アーベル曲面であり、非滑らか領域 $Crit(\pi)$ は有限であるため、Néron モデル $\pi^\#$ を構成できる。
• $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ のねじれ部分群は $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ に同型であり、8-ねじれセクションが特異曲線に作用する様子により計算された。
• $\alpha \mapsto \log\alpha^*([e_0])$ で定義される写像 $\varphi: G \to H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ は群準同型であり、その像がねじれ部分群を生成する。
• $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ のねじれ部分群 $Tors(H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z}))$ は、8-ねじれセクション $e$ に対する特異曲線の差 $[e] - [e_0]$ によって生成され、この群は $G \cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ に同型である。これにより主結果が証明された。
• この結果は、$V^{1}_{8,y}$ の鏡像が $G$ の $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 部分群による商である可能性を支持しており、基本群は $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$、ブラウラー群は $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ である。