[論文レビュー] A cancellation theorem for Milnor-Witt correspondences

Jean Fasel, Paul Arne Østvær|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、特性 ≠ 2 の無限大の完全体 k 上で、Milnor-Witt対応のためのキャンセレーション定理を確立し、Tate対象 $ͷ\widetilde{\mathbb{Z}}(1)$ によるテンソル積が、有効なMilnor-Wittモチーフの圏における射の集合に同型を誘導することを証明する。この結果は、Voevodskyのキャンセレーション定理をMilnor-Witt設定に拡張し、Milnor-Wittモチーフコホモロジーにおけるスパンション同型を示唆する。

ABSTRACT

We show that finite Milnor-Witt correspondences satisfy a cancellation theorem with respect to the pointed multiplicative group scheme. This has several notable applications in the theory of Milnor-Witt motives and Milnor-Witt motivic cohomology.

研究の動機と目的

• モチーフホモトピー理論の文脈において、有限Milnor-Witt対応のキャンセレーション定理を確立すること。
• 有限対応のためのVoevodskyのキャンセレーション結果を、Milnor-Wittモチーフおよび層の設定へ拡張すること。
• Tate対象 $ͷ\widetilde{\mathbb{Z}}(1)$ によるテンソル積が、$ͷ\mathrm{DM}^{\mathrm{eff}}(k,\mathbb{Z})$ における射の集合に同型を誘導することを証明すること。
• Milnor-Wittモチーフコホモロジーの基礎的道具と、モチーフスペクトルによる表現可能性を提供すること。
• Milnor-Wittモチーフコホモロジースペクトル $ͷ\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ が $Ω_T$-スペクトルであるという予想を支援することにより、モチーフホモトピー理論における計算ツールを強化すること。

提案手法

• 完備体 $k$ 上の滑らかなスキームにおける有限Milnor-Witt対応の圏 $ͷ\widetilde{\mathrm{Cor}}_k$ を用いる。
• 直線束によるねじれを伴う、未分岐なMilnor-Witt $K$-理論層を係数とするRost-Schmidコチェーン複体を適用する。
• モチーフ圏におけるスパンション対象として、Tate対象 $ͷ\widetilde{\mathbb{Z}}(1) = \widetilde{\mathbb{Z}}(\mathbb{P}^1)/\widetilde{\mathbb{Z}}(\infty)[-2]$ を用いる。
• 安定モチーフホモトピー圏におけるモチーフスペクトル $ͷ\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ を用いて、Milnor-Wittモチーフコホモロジーの表現可能性に依存する。
• ホモトピー加群と安定モチーフホモトピー圏のハートの間の同値関係を用い、$ͷ\mathbf{M}^\heartsuit\widetilde{\mathbb{Z}}$ を $ͷ\mathbf{K}_\ast^{\mathrm{MW}}$ に結びつける。
• MorelおよびBachmannによるモチーフ球面スペクトルのホモトピー群に関する結果を適用し、$ͷ\mathrm{SH}(k)$ 内での同型を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限対応のキャンセレーション定理は、二次形式を伴うMilnor-Witt設定へ拡張可能か？
• RQ2 Tate対象 $ͷ\widetilde{\mathbb{Z}}(1)$ によるテンソル積は、$ͷ\mathrm{DM}^{\mathrm{eff}}(k,\mathbb{Z})$ における射の集合に同型を誘導するか？
• RQ3 Milnor-Wittモチーフコホモロジースペクトル $ͷ\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ が $Ω_T$-スペクトルであることを示せるか？
• RQ4 $ͷ\mathbf{SH}(k)$ 内に、$ͷ\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$、$ͷ\mathbf{M}\mathbb{Z}/2$、およびモチーフ球面スペクトルの零番目の有効スライスを含む、区別された三角形が存在するか？
• RQ5 同型 $ͷ\underline{\pi}_{\ast,\ast}\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}} \cong \mathbf{K}_\ast^{\mathrm{MW}}$ は、モチーフスペクトルの構造とどのように関係するか？

主な発見

• すべてのMilnor-Witt層の複体 $\mathscr{C}, \mathscr{D}$ に対して、$\u0377\widetilde{\mathbb{Z}}(1)$ によるテンソル積によって誘導される写像 $\mathrm{Hom}_{\u0377\mathrm{DM}^{\mathrm{eff}}(k,\mathbb{Z})}(\mathscr{C},\mathscr{D}) \to \mathrm{Hom}_{\u0377\mathrm{DM}^{\mathrm{eff}}(k,\mathbb{Z})}(\mathscr{C}(1),\mathscr{D}(1))$ は同型である。
• Milnor-Wittモチーフコホモロジースペクトル $\u0377\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ は、$\mathrm{Sp}^\Sigma(\mathcal{M}_k, T)$ 内で $\Omega_T$-スペクトルである。これは、モチーフ安定圏におけるファイブラリティを示唆する。
• Nisnevich層としての標準的同型 $\mathbf{K}_\ast^{\mathrm{MW}} \cong \underline{\pi}_{\ast,\ast}\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ が存在し、Milnor-Witt $K$-理論とモチーフスペクトルのホモトピー群を結びつける。
• $\mathbf{SH}(k)$ の $t$-構造のハートにおけるモチーフスペクトル $\u0377\mathbf{M}^\heartsuit\widetilde{\mathbb{Z}}$ は、未分岐なMilnor-Witt $K$-理論層 $\mathbf{K}_\ast^{\mathrm{MW}}$ に同型である。
• モチーフ球面スペクトルの零番目の有効スライス $\widetilde{s}_0\mathbf{1}$ は、$\mathbf{SH}(k)$ 内で区別された三角形 $\Sigma^{1,0}\mathbf{M}\mathbb{Z}/2 \to \widetilde{s}_0\mathbf{1} \to \mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ に含まれる。ただし、$\u0377\mathbf{M}^\heartsuit\widetilde{\mathbb{Z}}$ と $\u0377\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ の同型が成立すると仮定する。
• キャンセレーション定理は、乗法的群 $\mathbb{G}_m$ に関するMilnor-Wittモチーフコホモロジーにおけるスパンション同型を示唆し、Voevodskyの結果を一般化する。