[論文レビュー] A Canonical Extension of Korn's First Inequality to H(Curl) motivated by Gradient Plasticity with Plastic Spin

Patrizio Neff, Dirk Pauly+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Elasticity and Material Modeling参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ における空間 $\overset{\circ}{\mathsf{H}}(\operatorname{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times 3})$ に対して、コルンの第一不等式の標準的拡張を確立し、接線境界条件を満たす場合に、テンソル場 $P$ の $L^2$ ノルムが対称部分 $\operatorname{sym}P$ と回転 $\operatorname{Curl}P$ のノルムの和によって有界であることを証明する。この結果は、コルンの不等式およびポincareの不等式を一般化し、塑性スピンを含む勾配塑性理論の基礎的推定を与える。

ABSTRACT

We prove a Korn-type inequality in H(Curl) for tensor fields.

研究の動機と目的

• 境界上での接線成分が消える条件の下で、空間 $\overset{\circ}{\mathsf{H}}(\operatorname{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times 3})$ におけるテンソル場に対して、新たなコルン型不等式を確立すること。
• 非対称な塑性歪みを含む無限小勾配塑性理論モデルの数学的基盤を、歪み密度テンソル $\operatorname{Curl}P$ を用いて提供すること。
• 古典的な推定（コルンの第一不等式およびポincareの推定）を統一的かつ一般化し、テンソル場に対して一様な coercive 不等式を構築すること。
• 非対称な塑性歪みを有する非線形的勾配塑性理論の変分定式化における coercivity 問題を解決すること。

提案手法

• 著者らは、境界上での $\nabla v_n$ の法線成分が消える滑らかなテンソル場の完備化として、空間 $\overset{\circ}{\mathsf{H}}(\operatorname{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times 3})$ を定義し、$\operatorname{sym}P$ と $\operatorname{Curl}P$ を含むノルムを備える。
• 関数解析的技法と作用素の核構造を用いて、すべての $P \in \overset{\circ}{\mathsf{H}}(\operatorname{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times 3})$ に対して不等式 $ c\|P\|_{L^2} \leq \|\operatorname{sym}P\|_{L^2} + \|\operatorname{Curl}P\|_{L^2} $ を証明する。
• 証明はヘルムホルツ分解に依拠しており、空間 $\overset{\circ}{\mathsf{H}}(\operatorname{Curl}; \Omega)$ が非対称なスピンを有する塑性歪みのモデル化に適していることにも基づく。
• 不等式が $P = \nabla v$ の場合にコルンの第一不等式の非標準的変種に還元され、$P$ が反対称の場合にポincare型推定に還元されることを示し、その統合的性質を実証する。
• 結果を2次元に拡張し、ガローニらの関連結果と比較することで、3次元においては $\operatorname{skew}P$ の正規化よりも接線境界条件がより自然であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的に妥当な境界条件下で、非対称成分を有する $\mathsf{H}(\operatorname{Curl})$ 空間におけるテンソル場に対して、コルン型不等式を拡張できるか？
• RQ2 $\|\operatorname{sym}P\|_{L^2}$ と $\|\operatorname{Curl}P\|_{L^2}$ の組み合わせが、空間 $\overset{\circ}{\mathsf{H}}(\operatorname{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times 3})$ に対して coercive ノルムを提供するか？
• RQ3 この推定が、塑性スピンを含む勾配塑性理論モデルにおける解の存在性と一意性の基礎となるか？
• RQ4 3次元において、境界条件 $\nu \times P = 0$ on $\partial\Omega$ が、$\operatorname{skew}P$ の正規化よりもより適切であるか？
• RQ5 この不等式は、コルンの推定とポincareの推定を、一つの標準的枠組みに統合するか？

主な発見

• 本稿は鋭い coercive 不等式を確立する：すべての $P \in \overset{\circ}{\mathsf{H}}(\operatorname{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times 3})$ に対して $ c\|P\|_{L^2} \leq \|\operatorname{sym}P\|_{L^2} + \|\operatorname{Curl}P\|_{L^2} $ が成り立ち、$c > 0$ は $\Omega$ のみに依存する。
• $P = \nabla v$ の場合、不等式はコルンの第一不等式の非標準的変種に還元される：$ c\|\nabla v\|_{L^2} \leq \|\operatorname{sym}\nabla v\|_{L^2} $、境界上での $\nabla v_n$ が法線成分を持つ条件の下で成立する。
• $P$ が反対称の場合、不等式はポincare型推定に還元され、両古典的不等式の一般化としての役割を確認する。
• 結果は、連結なリプシッツ境界を持つ有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ に対して有効であり、物理的に現実的な領域への適用可能性を保証する。
• 2次元においても同様の構造で不等式が成り立ち、著者らはガローニらの手法で用いられる $\int_\Omega \operatorname{skew}P = 0$ の正規化条件が、$\mathbb{R}^3$ においては接線境界条件 $\nu \times P = 0$ よりも自然でないことを示す。
• この不等式は、塑性スピンを含む勾配塑性理論の変分定式化における必須の coercivity 推定を提供し、モデルの解の存在性と一意性の証明を可能にする。