[論文レビュー] A Canonical Hamiltonian Derivation of Hawking Radiation

Kirill Melnikov, Marvin Weinstein|ArXiv.org|Sep 25, 2001

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、シュバルツシルトブラックホールにおけるホーキング放射の正準ハミルトニアン導出をレーマイトル座標を用いて行い、時間に依存するハミルトニアン—非定常な時空に起因するもの—が直接的に熱放射を生成することを示した。この手法により、ユニタリティが保証され、無限遠点における有限で熱的なフラックスが得られ、ホーキング温度 $ T_{ m H} = 1/(8ar{\pi} G M) $ と一致する。これにより、半古典的重力理論におけるユニタリティに関する長年の懸念が解消された。

ABSTRACT

We present a derivation of Hawking radiation based on canonical quantization of a massless scalar field in the background of a Schwarzschild black hole using Lemaitre coordinates and show that in these coordinates the Hamiltonian of the massless field is time-dependent. This result exhibits the non-static nature of the problem and shows it is better to talk about the time dependence of physical quantities rather than the existence of a time-independent vacuum state for the massless field. We then demonstrate the existence of Hawking radiation and show that despite the fact that the flux looks thermal to an outside observer, the time evolution of the massless field is unitary.

研究の動機と目的

• 時間に依存するハミルトニアン形式におけるホーキング放射の正準量子化フレームワークを提供すること。
• 純粋状態の時間発展を示すことにより、半古典的ブラックホール物理学におけるユニタリティに関する議論を解決すること。
• バックレアクションの研究に向けたエネルギー運動量テンソルの自己無矛盾な計算を可能にすること。
• 時間に依存するハミルトニアン—非定常時空に起因するもの—がホーキング放射の起源であることを示すこと。
• 特異点付近における情報の記憶およびモードの分離の研究の基盤を構築すること。

提案手法

• 全空間的で時空的に定数の時間面を定義できるレーマイトル座標を用い、正準量子化を可能にする。
• シュバルツシルト背景における質量のないスカラー場の時間に依存するハミルトニアンを導出する。
• 初期ハミルトニアンを $\lambda = 0$ で自由場の形に変換できるように、場および運動量演算子をスケーリングする。
• 境界条件 $\phi_1(r=0) = 0$ を満たすモード展開を用いて、ハイゼンベルクの運動方程式を解く。
• 2点相関関数を計算し、検出器の励起確率振幅を抽出する。
• ホライズン付近での対数発散を分析することで、熱的成分を同定し、$1/(e^{\Delta E/T_{\rm H}} - 1)$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボゴリューボフ変換や有効場理論に依存せずに、正準ハミルトニアン形式内でのホーキング放射の導出は可能か？
• RQ2 ハミルトニアンが明示的に時間に依存する場合、量子場の時間発展はユニタリか？
• RQ3 時間に依存するハミルトニアンの構造から、熱的スペクトルの起源は何か？
• RQ4 バックレアクションの研究に向け、エネルギー運動量テンソルを時間関数としてどのように計算できるか？
• RQ5 $r \to 0$ の近傍で時間発展から分離されたモードは、ブラックホール蒸発中に量子情報を記憶するか？

主な発見

• レーマイトル座標における質量のないスカラー場のハミルトニアンは、明示的に時間に依存しており、ブラックホール時空の非定常性を反映している。
• 時間に依存するハミルトニアンであっても、時間発展はユニタリであり、系は常に純粋な量子状態にとどまる。
• 2点相関関数により、無限遠点における温度 $T_{\rm H} = 1/(8\bar{\pi} G M)$ の熱的フラックスが得られ、標準的なホーキング結果と一致する。
• フラックスの熱的成分は、ホライズン付近での対数発散 $\ln|e^{-t/(2\alpha)} - e^{-t'/(2\alpha)}|$ に起因し、ボーズ・アインシュタイン分布に帰着する。
• エネルギー運動量テンソルは無限遠点で有限かつ一意に定義されており、バックレアクションの自己無矛盾な取り扱いが可能である。
• 2次元の場合には正確な解が得られ、4次元の場合には幾何光学近似が必要となり、$r \to 0$ 近傍での挙動の相違が浮き彫りになる。