[論文レビュー] A canonical system of differential equations arising from the Riemann zeta-function

Masatoshi Suzuki|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2012

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ひとこと要約

本稿は、リーマン・シータ関数から導かれる微分方程式の正規系を確立し、リーマン予想（RH）を ω > 1 における Θω(z) = ξ(1/2−ω−iz)/ξ(1/2+ω−iz) のメロモルフィックな内部関数性と結びつける。この正規系は、コンパクトな積分作用素のフレドホルム行列式を用いて、RH を前提としない形で構成され、関連するハミルトニアン行列の半正定値性によるRHの基準を与える。

ABSTRACT

This paper has two main results, which relate to a criteria for the Riemann hypothesis via the family of functions $Θ_ω(z)=ξ(1/2-ω-iz)/ξ(1/2+ω-iz)$, where $ω>0$ is a real parameter and $ξ(s)$ is the Riemann xi-function. The first main result is necessary and sufficient conditions for $Θ_ω$ to be a meromorphic inner function in the upper half-plane. It is related to the Riemann hypothesis directly whether $Θ_ω$ is a meromorphic inner function. In comparison with this, a relation of the Riemann hypothesis and the second main result is indirect. It relates to the theory of de Branges, which associates a meromorphic inner function and a canonical system of linear differential equations (in the sense of de Branges). As the second main result, the canonical system associated with $Θ_ω$ is constructed explicitly and unconditionally under the restriction of the parameter $ω>1$ by applying a method of J.-F. Burnol in his recent work on the gamma function to the Riemann xi-function. If such construction is extended to all $ω> 0$ unconditionally, we get a criterion for the Riemann hypothesis in terms of a family of canonical systems parametrized by $ω>0$, which explains the validity of the Riemann hypothesis as positive semidefiniteness of the corresponding family of Hamiltonian matrices.

研究の動機と目的

• ω > 1 に対して、リーマン・シータ関数に関連する正規系の線形微分方程式を、リーマン予想を仮定せず、条件なしに確立すること。
• リーマン予想を、上半平面における Θω(z) のメロモルフィックな内部関数性と結びつけること。
• de Branges 空間理論を用いて、Aω(z) の零点を正の作用素の固有値として実現する構成的枠組みを提供すること。
• J.-F. Burnol のガンマ関数に関する手法を用いて、正規系の構成を ω ≥ 1/2 から ω > 1 へ拡張すること。
• 正規系から導かれるハミルトニアン行列の半正定値性に基づく、リーマン予想の基準を提示すること。

提案手法

• ξ(s) をリーマン・シータ関数とするとき、Θω(z) = ξ(1/2−ω−iz)/ξ(1/2+ω−iz) を定義し、上半平面における解析的性質を分析すること。
• ξ(s) の関数方程式を用いて、実軸上で実数値をとり、偶関数・奇関数である Aω(z) および Bω(z) の対称性を導出すること。
• Burnol のガンマ関数に関する手法を応用し、核関数 hω⟨1⟩(x) を Θω(z) を含むメリン＝バーンズ積分として表現し、ω > 1 に対して収束を保証すること。
• コンパクトな積分作用素のフレドホルム行列式を用いて正規系を構成し、de Branges 空間のスペクトル理論と結びつけること。
• 留数定理と漸近解析（スターリングの公式を用いて）を用いて、L²((1,∞), dx) 内で x−1/2 − hω⟨1⟩(x) の積分表現を導出すること。
• x−1/2 − hω⟨1⟩(x) の L² 可積分性と、上半平面における Θω(z) の内部関数性との同値性を確立し、正規系の構成に至ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Θω(z) が上半平面でメロモルフィックな内部関数であるための条件は何か？ そしてそれはリーマン予想とどのように関係するか？
• RQ2 リーマン・シータ関数から、積分作用素を用いて、ω > 1 に対して条件なしに正規系の微分方程式を構成できるか？
• RQ3 Θω(z) の内部関数性は、Aω(z) の零点を通じてリーマン予想の真偽をどのように符号化するか？
• RQ4 正規系のスペクトル的解釈は、ハミルトニアン行列と半正定値性の観点からどのように解釈できるか？
• RQ5 正規系の構成を、ω > 0 全体に条件なしに拡張できるか？ その場合、リーマン予想にどのような含意があるか？

主な発見

• ω > 1 に対して、コンパクトな積分作用素のフレドホルム行列式を用いて、Θω(z) に関連する正規系が条件なしに構成された。
• Θω(z) が上半平面でメロモルフィックな内部関数であることは、リーマン予想が成り立つための必要十分条件である。
• 区間 (1,∞) における x−1/2 − hω⟨1⟩(x) の L² 可積分性は、Θω(z) が上半平面で内部関数であることと同値である。
• メリン＝バーンズ積分と留数計算を用いた正規系の構成により、関連するハミルトニアン行列が半正定値であることは、リーマン予想が成り立つための必要十分条件である。
• 本稿では、ω > 0 をパrameterとするハミルトニアン行列族の半正定値性に基づく、リーマン予想の基準を提示した。
• 本手法は、Burnol がガンマ関数に対して行ったアプローチをリーマン・シータ関数へ拡張し、ω > 1 に対して条件なしの構成を可能にした。