[論文レビュー] A canonical Tannaka duality for finite seimisimple tensor categories

Takahiro Hayashi|ArXiv.org|Apr 15, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、有限半単純テンソル圏に対して、元の圏と同値な余モジュール圏を持つ標準的なフェイス代数を構成することにより、有限半単純テンソル圏に対する標準的Tannaka双対性を確立する。有限生成代数 $ R $ 上の双モジュール圏への埋め込みに対する一般化されたTannaka-Krein双対性を用いて、任意の分割可能な有限半単純テンソル圏が、標準的なファイバー関手を通じて自然なフェイス代数表現を備えることを示す。

ABSTRACT

For each finite semisimple tensor category, we associate a quantum group (face algebra) whose comodule category is equivalent to the original one, in a simple natural manner. To do this, we also give a generalization of the Tannaka-Krein duality, which assigns a face algebra for each tensor category equipped with an embedding into a certain kind of bimodule category.

研究の動機と目的

• $ \mathbb{mod}(\mathbb{K}) $ への埋め込みを許さない有限半単純テンソル圏に対し、Tannaka-Krein双対性を一般化すること。
• 地面 field $ \mathbb{K} $ の有限個のコピーの直積である $ R $ に対して、任意の分割可能な有限半単純テンソル圏 $ \mathbb{C} $ から $ R $-双モジュール圏への標準的ファイバー関手 $ \Omega_0 $ を構成すること。
• 一般化されたTannaka双対性枠組みを通じて、このようなテンソル圏と $ \mathcal{V} $-フェイス代数との間の標準的対応を確立すること。
• 得られるフェイス代数 $ C(\Omega_0) $ が、元の圏をその有限次元余モジュール圏として実現することを示し、標準的量子群双対を提供すること。

提案手法

• $ R = R_{\mathcal{V}} $ を、有限集合 $ \mathcal{V} $ の $ \mathbb{K} $-線型包として定義し、積構造 $ \lambda\mu = \delta_{\lambda\mu}\lambda $ を備えることで、有限次元半単純代数とする。
• $ E = \overset{\circ}{R} \otimes R $ を定義し、$ \Delta(\overset{\circ}{\lambda}\mu) = \sum_{\nu \in \mathcal{V}} \overset{\circ}{\lambda}\nu \otimes \overset{\circ}{\nu}\mu $ および $ \varepsilon(\overset{\circ}{\lambda}\mu) = \delta_{\lambda\mu} $ を通じてコモジュール構造を備える。
• $ \mathcal{V} $-フェイス代数 $ \mathfrak{H} $ を、$ E $ 上のバイアルゲブラに類似した対象として定義し、$ \Delta(ab) = \Delta(a)\Delta(b) $ および $ \varepsilon(ab) = \sum_{\nu} \varepsilon(a\nu)\varepsilon(\overset{\circ}{\nu}b) $ を満たすものとする。
• 忠実かつ完全、モノイダル関手 $ \Omega: \mathbb{C} \to \mathbb{bmd}(R) $ のコエンダー $ C(\Omega) $ を構成し、これは自然な余モジュール構造を備えた $ \mathcal{V} $-フェイス代数となる。
• $ \mathcal{V} $-Tannaka双対性を用いて、$ \mathbb{C} \cong \mathbb{com}(C(\Omega)) $ がテンソル圏として同値であり、この同値性が $ \Omega $ によって誘導されることを示す。
• 標準的ファイバー関手 $ \Omega_0(X)_{\lambda\mu} = \mathbb{C}(L_\mu, L_\lambda \otimes X) $ を定義し、ここで $ \{L_\lambda\} $ は単純対象の完全集合とする。これにより、普遍的な双対フェイス代数が構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathbb{mod}(\mathbb{K}) $ への埋め込みを許さない有限半単純テンソル圏に対し、標準的Tannaka双対性を確立できるか？
• RQ2 有限生成代数 $ R $ 上の双モジュール圏への埋め込みに対して、Tannaka-Krein双対性をどのように一般化できるか？
• RQ3 任意の与えられた分割可能な有限半単純テンソル圏を再構成する余モジュール圏を持つ自然なフェイス代数の構成は可能か？
• RQ4 結果として得られるフェイス代数は、テンソル圏のモノイダル構造および剛性構造からどのような構造を引き継ぐか？
• RQ5 標準的ファイバー関手 $ \Omega_0 $ は、表現論的データを双モジュール準同型へどのように符号化するか？

主な発見

• $ \mathbb{C} $ が分割可能な有限半単純テンソル圏であるとき、$ R = R_{\mathcal{V}} $ を用いて、$ \Omega_0(X)_{\lambda\mu} = \mathbb{C}(L_\mu, L_\lambda \otimes X) $ で定義される、忠実かつ完全、モノイダルな関手 $ \Omega_0: \mathbb{C} \to \mathbb{bmd}(R) $ が存在する。
• $ \Omega_0 $ のコエンダー $ C(\Omega_0) $ は $ \mathcal{V} $-フェイス代数であり、その有限次元余モジュール圏 $ \mathbb{com}(C(\Omega_0)) $ はテンソル圏として $ \mathbb{C} $ と同値である。
• この構成により、$ \mathbb{mod}(\mathbb{K}) $ へのファイバー関手が存在しない圏に対しても、古典的Tannaka-Krein双対性を一般化した標準的量子群双対（フェイス代数としての形）が得られる。
• $ \mathbb{C} $ が剛性を持つ場合、$ C(\Omega_0) $ は双射的アンチポーダル写像を備え、したがってホップ $ \mathcal{V} $-フェイス代数である。
• 有限群 $ G $ に対して $ \mathbb{com}(\mathbb{C}[G]) $ を例にとると、標準的双対フェイス代数は基底 $ \{e^a_b[g]\} $ を持ち、$ e^a_b[g]e^c_d[h] = \delta_{ag,c}\delta_{bg,d}e^a_b[gh] $ を満たし、コプロダクトは $ \Delta(e^a_b[g]) = \sum_c e^a_c[g] \otimes e^c_b[g] $ である。
• フェイスイデアルは $ \overset{\circ}{a} = \sum_b e^a_b[1] $、$ b = \sum_a e^a_b[1] $ で与えられ、アンチポーダル写像は $ S(e^a_b[g]) = e^{bg}_{ag}[g^{-1}] $ である。これによりホップ代数構造が確認される。