[論文レビュー] A capacity approach to box and packing dimensions of projections of sets and exceptional directions

K. J. Falconer|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、カーネルと容量を用いてボックス次元およびパッケージング次元プロファイルを定義する容量に基づくアプローチを導入し、従来の間接的な定義とは対照的に、より直接的かつ計算的に扱いやすい代替定義を提示する。本稿は、ボレル集合 E の m 次元次元プロファイルが、ほとんどすべての m 次元部分空間への射影における典型的なボックス次元またはパッケージング次元に等しいことを確立しており、射影が典型値を下回る例外的な集合に対して、新しいフーリエに基づく推定値を提示する。

ABSTRACT

Dimension profiles were introduced in [8,11] to give a formula for the box-counting and packing dimensions of the orthogonal projections of a set $R^n$ onto almost all $m$-dimensional subspaces. However, these definitions of dimension profiles are indirect and are hard to work with. Here we firstly give alternative definitions of dimension profiles in terms of capacities of $E$ with respect to certain kernels, which lead to the box-counting and packing dimensions of projections fairly easily, including estimates on the size of the exceptional sets of subspaces where the dimension of projection is smaller the typical value. Secondly, we argue that with this approach projection results for different types of dimension may be thought of in a unified way. Thirdly, we use a Fourier transform method to obtain further inequalities on the size of the exceptional subspaces.

研究の動機と目的

• R^n 内の集合のボックス次元およびパッケージング次元プロファイルを、より直感的かつ計算的に取り扱いやすい形で定義すること。
• 従来の測度論的で間接的な次元プロファイルの定義を、特定のカーネルを用いた容量に基づく定式化に置き換えること。
• ボックス次元が典型的な値より厳密に小さい場合に生じる例外的な部分空間集合のサイズに対する鋭い境界を導出すること。
• ハウスドルフ次元、ボックス次元、パッケージング次元といった異なる次元タイプを、共通の容量フレームワークを通じて統一的に取り扱うこと。
• フーリエ変換法を用いて、ボックス次元およびパッケージング次元の例外的な射影方向の次元に対する新しい定量的推定値を得ること。

提案手法

• 連続的カーネル φr^s(x) = min{|x|^{-s}, r^{-s}} に関する容量 Cr^s(E) の漸近的挙動を用いて、集合 E の s ボックス次元プロファイルを定義する。
• 均衡測度および容量論を用いて、Cr^s(E) の対数的成長率と射影のボックス次元またはパッケージング次元との関係を確立する。
• dim_B^m(E) が、m 次元部分空間へのほとんど everywhere な射影次元に等しいことを示す。
• フーリエ解析を用いて、射影次元が典型的な値より厳密に小さい例外的な集合の次元に対する新しい上界を導出する。
• 上位ボックス次元プロファイルを用いてパッケージング次元プロファイルを定義し、パッケージング次元への結果の拡張を行う。
• ホルダーの不等式およびスケーリングの議論を用いて、異なるスケールにおける次元プロファイル間の不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボックス次元およびパッケージング次元プロファイルは、測度論的で間接的な構成を避けることのできる、より直接的で容量論的な形で再定義可能か？
• RQ2 集合の s 次元次元プロファイルと、m 次元部分空間への射影の次元との間には、明確な関係があるか？
• RQ3 射影次元が典型的な値より厳密に小さい例外的な部分空間集合は、どれほど大きくなる可能性があるか？
• RQ4 フーリエ変換法を用いることで、ボックス次元およびパッケージング次元の例外的な集合のサイズに対する改善された定量的推定値が得られるか？
• RQ5 異なるスケール s における次元プロファイルの振る舞いを支配する不等式は何か？

主な発見

• m 次元ボックス次元プロファイル dim_B^m(E) は、V ∈ G(n,m) に対する π_V(E) のほとんど everywhere での次元に等しく、典型的な射影次元の直接的特徴付けを提供する。
• s ≥ n のとき、s ボックス次元プロファイル dim_B^s(E) は、E の標準的なボックスカウント次元に簡約される。
• パッケージング次元プロファイル dim_P^m(E) は上位ボックス次元プロファイルを用いて定義され、V ∈ G(n,m) に対する π_V(E) のほとんど everywhere でのパッケージング次元に等しい。
• 適切な条件下で、dim_B π_V(E) < dim_B^m(E) を満たす部分空間 V の例外的集合の次元は、m(n−m) − γ 以下である（γ > 0）。
• 0 < s ≤ t のとき、不等式 dim_B^s(E) ≥ d(t)/(1 + (1/s − 1/t)d(t)) が成り立ち、次元プロファイルに対する鋭い下界を与える。
• 容量に基づくアプローチにより、ハウスドルフ次元、ボックス次元、パッケージング次元を統一的に取り扱うことができ、各タイプに対して類似した次元プロファイルが得られる。