[論文レビュー] A cascade of determinantal Calabi--Yau threefolds

Grzegorz Kapustka, Grzegorz Kapustka|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Kustin–Millerの非正則化を用いて、行列の小行列式によって定義されるCalabi–Yau三様体の族を、コンパクト化遷移によって結ぶ、行列式的Calabi–Yau三様体の段階的構成を構築する。Hodge数を計算し、Kähler–Mori錐の面に対応する写像を記述し、非正則化系列を通じてデル・ペッツォ表面との幾何的類似性を確立する。

ABSTRACT

We study Kustin--Miller unprojections of Calabi--Yau threefolds. As an application we work out the geometric properties of Calabi--Yau threefolds defined as linear sections of determinantal varieties. We compute their Hodge numbers and describe the morphisms corresponding to the faces of their Kähler--Mori cone.

研究の動機と目的

• 線形行列の小行列式によって定義される行列式的イデアルを用いて、明示的に構成可能なCalabi–Yau三様体のクラスを拡張すること。
• Reidのデル・ペッツォ表面の段階的構成に類似した、Kustin–Miller非正則化を用いたCalabi–Yau三様体の幾何的段階的構成を確立すること。
• 特定の行列式的Calabi–Yau三様体の族のHodge数を計算し、Kähler–Mori錐の構造を記述すること。
• Gorenstein部分多様体を含むノード特異点を持つCalabi–Yau三様体を構成する体系的な方法を提供し、非正則化理論に応用可能なものとする。

提案手法

• ノード特異点を持つ多様体の特異点解消と、デル・ペッツォ表面を点に収縮する操作を通じて、Kustin–Miller非正則化を用いてCalabi–Yau三様体を構成する。
• 具体的な例（特に4×4行列の3×3小行列式）においてノード性を確認するため、計算代数（Singular）と補題3.4を適用する。
• Grassmannブロー・アップと、行列式的多様体の結果（例：[CM]、[Co]、[JLP]）を用いて、構成された三様体の幾何を分析する。
• シューベルト計算とLascouxの公式を用いて、行列式的層の Chow 群とChern類の関係を計算する。
• Namikawaの結果を適用し、一般の4×4、4×5部分対称、5×5対称行列の3×3小行列式によって定義される三様体のHodge数を計算する。
• P. Pragaczによる付録（一般の行列式的多様体）を活用し、コhomologyおよびChow群の計算を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kustin–Miller非正則化をどのように用いて、デル・ペッツォ表面の段階的構成に類似したCalabi–Yau三様体の段階的構成を実現できるか？
• RQ2 線形形式の行列の3×3小行列式による線形断面として定義されるCalabi–Yau三様体のHodge数は何か？
• RQ3 これらの行列式的Calabi–Yau三様体において、Kähler–Mori錐の面に対応する写像は何か？
• RQ4 指定された行列式的タイプのノード特異点を持つCalabi–Yau三様体を構成し、特異点を解消することで所望の幾何的性質を持つ滑らかなCalabi–Yau三様体を得られるか？
• RQ5 これらの構成に現れる行列式的多様体の層において、Chow群とChern類の関係はどのように振る舞うか？

主な発見

• 線形形式の4×4一般行列の3×3小行列式によって定義されるℙ⁷内のCalabi–Yau三様体は、Hodge数 h¹¹ = 2 および h¹² = 34 を持つ。
• 線形形式の4×5部分対称一般行列の3×3小行列式によって定義されるℙ⁸内の三様体は、Hodge数 h¹¹ = 2 および h¹² = 25 を持つ。
• 線形形式の5×5対称一般行列の3×3小行列式によって定義されるℙ⁹内の三様体は、Hodge数 h¹¹ = 1 および h¹² = 26 を持つ。
• 各三様体のKähler–Mori錐は、その面に対応する原始的収縮を用いて記述可能であり、これらは明示的に分析されている。
• 一般の4×4行列の場合、行列式的多様体 Dᵣ のChow群 A¹(Dᵣ) は ℤ⊕ℤ に同型であり、対称の場合には ℤ に同型である。これはシューベルト計算とLascouxの公式からの関係によって示された。
• Chow群 Aₖ(Dᵣ∖Dᵣ₋₁) は、シュール類 sⱼ(R) とハイパーフラットクラス h のべきによってℚ上に生成され、関係式により有限個の生成子に還元可能である。