[論文レビュー] A case of combination of evidence in the Dempster-Shafer theory inconsistent with evaluation of probabilities

Andrzej K. Brodzik, Robert H. Enders|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Forecasting Techniques and Applications参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、証拠間に非ゼロの衝突がある場合でさえ、質量割り当てが確率を表すと仮定しても、Dempster-Shafer (DS) 組み合わせ規則が標準的な確率評価と整合しない質量割り当てを生じることを示している。主な発見は、DS 組み合わせが基本的な確率的整合性を破る結果をもたらす可能性があることであり、これは一般の場合におけるDS質量を確率として解釈することの正当性を揺るがしている。

ABSTRACT

The Dempster-Shafer theory of evidence accumulation is one of the main tools for combining data obtained from multiple sources. In this paper a special case of combination of two bodies of evidence with non-zero conflict coefficient is considered. It is shown that application of the Dempster-Shafer rule of combination in this case leads to an evaluation of masses of the combined bodies that is different from the evaluation of the corresponding probabilities obtained by application of the law of total probability. This finding supports the view that probabilistic interpretation of results of the Dempster-Shafer analysis in the general case is not appropriate.

研究の動機と目的

• Dempster-Shafer (DS) 理論と確率論の証拠組み合わせにおける整合性を調査すること。
• 証拠間に非ゼロの衝突がある場合に、DS 組み合わせが標準的な確率評価と矛盾するケースを特定すること。
• DS質量割り当てを確実に確率として解釈できるという一般的な仮定に疑問を呈すること。
• 特に衝突係数が非ゼロの場合に、DS結果の確率的解釈が常に有効でないことを示すこと。

提案手法

• 著者は、フレーム・オブ・ディスセールドの部分集合に対する質量割り当てを用いて証拠の集合を定義し、加法性の制約を課して確率的解釈を可能にする。
• 非ゼロの衝突係数を有する2つの証拠に対して、標準的なDS組み合わせ規則を適用し、$ m_C(S) = \frac{\sum_{A_i \cap B_j = S} m_A(A_i)m_B(B_j)}{1 - \kappa} $ の式を用いる。ここで $ \kappa $ は衝突係数である。
• この方法では、DS質量割り当てと全確率の法則に基づいて導かれる確率とを比較し、特に単一要素および複合仮説の評価を対象とする。
• 具体的な数値例を含み、$ m_A = \{x, \bar{x}, 1-x-\bar{x}\} $ および $ m_B = \{y, 1-y\} $ といった質量割り当てを用い、方程式 (40)–(45) および (52)–(55) を用いて整合性を評価する。
• DS質量が確率と等しくなる条件を導出し、これは $ x=0 $、$ y=0 $、または $ y=1 $ の場合にのみ成立し、すなわち $ \kappa = 0 $ のときであることを示す。
• DSから導かれる質量値と確率推定値を比較することで整合性をテストし、特に $ x=1/4, \bar{x}=1/2, y=1/2 $ の例における $ P(b) $ のケースで、重複しない区間が生じることを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dempster-Shafer 組み合わせ規則が確率論と整合する条件は何か？
• RQ2 証拠間に非ゼロの衝突がある場合に、DSフレームワーク内の質量割り当てを確率として信頼性高く解釈できるか？
• RQ3 質量割り当てが確率を表すと仮定しても、なぜDS組み合わせの結果が確率評価と乖離するのか？
• RQ4 確率的整合性を満たすべき不等式 $ m_C(S) \leq P(S) $ が、非自明な証拠組み合わせの非ゼロ衝突ケースで破られることがあるか？

主な発見

• DS 組み合わせ規則は、質量割り当てが確率を表すと仮定しても、確率評価と整合しない質量割り当てを生じることがある。
• 特に $ m_A = \{x, \bar{x}, 1-x-\bar{x}\} $、$ m_B = \{y, 1-y\} $、非ゼロの衝突 $ \kappa = x(1-y) $ の場合、DS質量と確率は $ x=0 $、$ y=0 $、または $ y=1 $ のとき、すなわち $ \kappa = 0 $ のときのみ一致する。
• 例として $ x=1/4 $、$ \bar{x}=1/2 $、$ y=1/2 $ を用いるとき、DS評価では $ \frac{2}{7} \leq P(b) \leq \frac{3}{7} $ が得られるが、確率評価では $ 0 \leq P(b) \leq \frac{1}{4} $ となり、区間が重複しない。
• 信頼度と可能性の正規化によってもこの不整合は解消されず、むしろその手続きによって不整合がさらに悪化することがある。
• この結果は、非自明な非ゼロ衝突を伴うケースにおいて、DS 組み合わせ規則が確率的整合性条件 $ m_C(S) \leq P(S) $ を破ることを示しており、一般にDS質量割り当てを確率として解釈することは正当ではない。
• DS理論と確率論は目的が異なる別個の枠組みであるという見解を支持する。