[論文レビュー] A catalogue of small regular matroids and their Tutte polynomials

Harald Fripertinger, Marcel Wild|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、サイズ $ n \leq 15 $ のすべての非同型の単純連結正則マトロイドの包括的カタログを提示する。同型削減を用いた二進行列表現の生成と、ファンオのマトロイドまたはその双対と同型な部分マトロイドに基づく基準によるフィルタリングを実施。すべてのマトロイドのトゥッテ多項式は、内部および外部ベース活性に基づく新規アルゴリズムを用いて計算され、Mathematica互換のデータファイルを含む完全で公開可能なリソースが提供される。

ABSTRACT

A catalogue of all non-isomorphic simple connected regular matroids ${\cal M}$ of cardinality $n \leq 15$ is provided on the net. These matroids are given as binary matrix matroids and are sieved from the large pool of all non-isomorphic binary matrix matroids of cardinality $\leq 15$. For each ${\cal M}$ its Tutte polynomial is determined by an algorithm based on internal and external base activity.

研究の動機と目的

• サイズ $ n \leq 15 $ のすべての非同型の単純連結正則マトロイドの完全で重複のないリストの作成。
• 内部および外部ベース活性に基づく効率的なアルゴリズムを用いて、各マトロイドのトゥッテ多項式を計算すること。
• マトロイド理論および組合せ論における利用を目的として、これらのマトロイドおよびその不変量の公開可能で標準化されたデータベースの提供。
• 正則性が双対性に関して保存されることを活用し、双対性を用いてランク $ k \geq 8 $ のマトロイドへの分類の拡張。
• 同型性の高速同定を可能にするために、辞書式に最小の代表元を標準形として使用すること。

提案手法

• サイズ $ n \leq 15 $ およびランク $ k \leq 7 $ のすべての非同型の二進マトロイドを、$ GF(2)^k $ 内のベクトルの多重集合を用いて生成し、$ GL_k(2) \times S_n $ の作用に関して同型を除く。
• 二つの二進マトロイドが同型であるための同型基準として、一方の行列表現が $ GL_k(2) $ 内の行変換および $ S_n $ 内の列置換によって他方へ変換可能であることを用いる。
• 定理1の適用：二進マトロイドが正則であるための必要十分条件は、ランク $ k-3 $ または $ k-4 $ のフラットがそれぞれ $ F_7 $ や $ F_7^d $ と同型な部分マトロイドを持たないこと。
• 各候補マトロイドについて、このようなフラットをすべてテストし、非正則なものを除外する。
• 内部および外部ベース活性に基づく新規アルゴリズムを用いてトゥッテ多項式を計算。このアルゴリズムは、基底および余基底を体系的に列挙することで多項式を評価する。
• 双対性を用いてランク $ k \geq 8 $ のマトロイドへのリストの拡張。正則マトロイドの双対は正則であり、同型なマトロイドの双対も同型であるため。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズ $ n \leq 15 $ のすべての非同型の単純連結正則マトロイドの完全な集合は何か？
• RQ2 正則マトロイドのトゥッテ多項式は、ベース活性を用いてどのように効率的に計算できるか？
• RQ3 サイズ $ n = 15 $ までに、正則マトロイドがサイズおよびランクごとにどのように分布しているか？
• RQ4 二進マトロイドの同型類は、その辞書式に最小の行列代表によって一意に特定可能か？
• RQ5 禁止部分マトロイドを用いて、二進マトロイドの正則性をアルゴリズム的にどのように検証できるか？

主な発見

• 著者らは、サイズ $ n \leq 15 $ の非同型の単純連結正則マトロイドを1,035個完全にリスト化した。すべてのマトロイドは標準的な辞書式に最小の行列代表として表現されている。
• トゥッテ多項式は、活性に基づくアルゴリズムを用いて1,035個のすべての正則マトロイドに対して成功裏に計算され、Mathematicaノートブック形式で提供可能である。
• 禁止部分マトロイド $ F_7 $ および $ F_7^d $ を用いたフィルタリング手法は、サイズ $ \leq 15 $ の二進マトロイドの中から正則マトロイドを同定するのに対して有効であった。
• 双対性の活用により、ランク $ k \geq 8 $ のマトロイドへのリストの拡張が可能となり、$ n \leq 15 $ に対してすべてのランクで完全性が保証された。
• ランク5の多角形マトロイド（8要素）には28個の基底が含まれており、この手法が非自明なマトロイド構造を扱えることを示している。
• マトロイドの代表元およびそのトゥッテ多項式を含む全データセットは、http://www.uni-graz.at/~fripert/html/matroids/matroide_neu.html で公開されている。