[論文レビュー] A categorification of the stable SU(2) Witten-Reshetikhin-Turaev invariant of links in S2 x S1

Lev Rozansky|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、$S^2 \times S^1$ 内のリンクの安定 SU(2) Witten-Reshetikhin-Turaev (WRT) 不変量のカテゴリフィケーションを構成する。リンク $L$ に大次元付きホモロジー理論を関連付け、その重み付きオイラー特徴は多項式不変量 $J(L, S^2 \times S^1)$ に一致する。このホモロジーは、$L$ の閉包をなすタングルに関連する $H_n$-両側加群のホッホシュィルトホモロジーとして定義され、高ねじれを持つトーラスブレイドのケイホヴァンホモロジーの安定極限として得られ、この文脈における安定 WRT 不変量の完全なカテゴリフィケーションを提供する。

ABSTRACT

The WRT invariant of a link L in S2xS1 at sufficiently high values of the level r can be expresses as an evaluation of a special polynomial invariant of L at 2r-th root of unity. We categorify this polynomial invariant by associating to L a bigraded homology whose graded Euler characteristic is equal to this polynomial. If L is presented as a closure of a tangle in S2xS1, then the homology of L is defined as the Hochschild homology of the H_n-bimodule associated to the tangle by M. Khovanov. This homology can also be expressed as a stable limit of Khovanov homology of the circular closure of the tangle in S3 through the torus braid with high twist.

研究の動機と目的

• $S^2 \times S^1$ 内のリンクの安定 SU(2) WRT 不変量のカテゴリフィケーションを構成すること。これは、高レベルでローレンツ多項式であることが知られている。
• 重み付きオイラー特徴が多項式不変量 $J(L, S^2 \times S^1)$ に一致する大次元付きホモロジー理論を定義すること。
• このホモロジーが、$L$ の閉包をなすタングルに関連する $H_n$-両側加群のホッホシュィルトホモロジーとして実現されること。
• このホモロジーが、ねじれが高くなるトーラスブレイドのケイホヴァンホモロジーの安定極限として得られることを示すことにより、この文脈におけるカテゴリフィケーションを既知のホモロジー理論と結びつけること。

提案手法

• 多項式不変量 $J(L, S^2 \times S^1)$ は、$q = \exp(\pi i / r)$ における $r \geq r_{\text{cr}}(L, S^3_1)$ の範囲で評価された修正 WRT 不変量 $\tilde{Z}_r(L, S^3_1)$ の安定極限として定義される。
• $S^3_{|2g}$ 内のタングル $\tau$ が $L$ の閉包をなす場合、$L$ のホモロジーは、[Kho00] の構成により関連する $H_n$-両側加群のホッホシュィルトホモロジーとして定義される。
• カテゴリフィケーションは、$S^3$ 内の $\tau$ の円形閉包のケイホヴァンホモロジーの、ねじれが増加するトーラスブレイドに沿った安定極限として実現される。
• この構成は、トーラスブレイドの普遍的カテゴリフィケーション複体および $q$-変形されたテンパレー・リーマン代数におけるその挙動に依存する。
• 証明には、テンパレー・リーマン代数におけるジョーンズ・ウェンツル射影の性質とその閉包性を用いて、WRT 不変量と多項式評価を関連付ける。
• 主な技術的道具は、$S^2 \times S^1$ 内のタングルの閉包を、ミッドリアンに沿った手術によって特定することであり、リシェチン＝トゥラエフの手術公式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^2 \times S^1$ 内のリンクの安定 SU(2) WRT 不変量は、大次元付きホモロジー理論にカテゴリフィケーション可能か？
• RQ2 $S^2 \times S^1$ 内のリンクのホモロジーは、その閉包が $L$ をなすタングルに関連する $H_n$-両側加群のホッホシュィルトホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ3 $S^2 \times S^1$ 内の安定 WRT 不変量のカテゴリフィケーションは、ねじれが高くなるトーラスブレイドのケイホヴァンホモロジーの安定極限と同値か？
• RQ4 ジョーンズ・ウェンツル射影と $S^2 \times S^1$ 内の WRT 不変量の評価との間の明確な関係は何か？
• RQ5 $S^2 \times S^1$ 内の WRT 不変量の安定極限は、重み付きオイラー特徴の意味でカテゴリフィケーション可能なローレンツ多項式を生成するか？

主な発見

• $S^2 \times S^1$ 内の安定 WRT 不変量 $J(L, S^2 \times S^1)$ はローレンツ多項式であり、$r \geq r_{\text{cr}}(L, S^2 \times S^1)$ に対して $\tilde{Z}_r(L, S^2 \times S^1) = J(L, S^2 \times S^1)|_{q=\exp(\pi i / r)}$ を満たす一意な有理関数である。
• $S^2 \times S^1$ 内のリンク $L$ のホモロジーは、$L$ の閉包をなすタングル $\tau$ に関連する $H_n$-両側加群のホッホシュィルトホモロジーとして定義され、その重み付きオイラー特徴は $J(L, S^2 \times S^1)$ に等しい。
• カテゴリフィケーションは、$S^3$ 内の $\tau$ の円形閉包のケイホヴァンホモロジーの、ねじれが高くなるトーラスブレイドに沿った安定極限として得られ、不変量の安定性を確認する。
• $S^2 \times S^1$ 内のタングルの閉包は、ミッドリアンに沿った手術によって計算され、WRT 不変量は、タングルがテンパレー・リーマン代数に誘導する自己準同型のトレースを含むリシェチン＝トゥラエフの手術公式によって表現される。
• 高ねじれを持つトーラスブレイドの極限は、$q$-adic 位相においてジョーンズ・ウェンツル射影 $P_{2n,0}$ に収束する。これは、ローレンツ級数展開における係数の安定化によって示される。
• ジョーンズ・ウェンツル射影を用いたタングルの閉包の評価は、射影が有理関数を含んでも、トレース公式におけるキャンセルにより $q$ に関する多項式が得られる。