[論文レビュー] A categorification of the Temperley-Lieb algebra and Schur quotients of U(sl(2)) via projective and Zuckerman functors

Joseph Bernstein, Igor Frenkel+1 more|ArXiv.org|Feb 11, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、$\mathfrak{gl}_n$ のカテゴリカル $cmathcal{O}$ の特異およびパラボリックブロックにおける射影的およびZuckerman関手を用いて、量子群 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ とTemperley-Lieb代数のカテゴリフィケーションを提示する。$\mathfrak{sl}_2$作用とその可換代数は、導来カテゴリ上の関手として実現され、Grothendieck群は $V_1^{\otimes n}$ に同型であり、関手の同型およびコムルティプリケーションの公式を通じてカテゴリフィケートド・シューア＝ウェイル双対性が確立される。

ABSTRACT

We identify the Grothendieck group of certain direct sum of singular blocks of the highest weight category for sl(n) with the n-th tensor power of the fundamental (two-dimensional) sl(2)-module. The action of U(sl(2)) is given by projective functors and the commuting action of the Temperley-Lieb algebra by Zuckerman functors. Indecomposable projective functors correspond to Lusztig canonical basis in U(sl(2)). In the dual realization the n-th tensor power of the fundamental representation is identified with a direct sum of parabolic blocks of the highest weight category. Translation across the wall functors act as generators of the Temperley-Lieb algebra while Zuckerman functors act as generators of U(sl(2)).

研究の動機と目的

• $\mathfrak{gl}_n$ のカテゴリカル $\mathcal{O}$ における関手を用いて、$n$ 重テンソル積 $V_1^{\otimes n}$ 上の $U(\mathfrak{sl}_2)$ 作用のカテゴリフィケーションを構成すること。
• 特異ブロックにおける $\mathcal{O}$ の射影的関手を用いて、$V_1^{\otimes n}$ 上のTemperley-Lieb代数作用を実現すること。
• パラボリックカテゴリ間の誘導関手を用いて、$U(\mathfrak{sl}_2)$ のコムルティプリケーションへのカテゴリフィケーションを拡張すること。
• Zuckerman関手が射影的関手と可換であり、$\mathfrak{sl}_2$ 作用をカテゴリフィケートすることを示すことにより、カテゴリフィケートド・シューア＝ウェイル双対性を確立すること。
• $\mathcal{O}_n$ 内の不分解射影的関手を用いて、$\dot{U}(\mathfrak{sl}_2)$ の標準基底の関手的実現を提供すること。

提案手法

• $\mathfrak{gl}_n$ の基本表現とのテンソル積による誘導によって得られる射影的関手 $\mathcal{E}$ と $\mathcal{F}$ を用いて、$U(\mathfrak{sl}_2)$ の生成元 $E$ と $F$ を実現すること。
• パラボリック部分代数 $\mathfrak{p}_k \subset \mathfrak{gl}_n$ の最大局所有限部分モジュールの導来関手としてZuckerman関手を用いること。
• 埋め込み関手と随伴関手の合成を通じて、$D^b(\mathcal{O}^{k,n-k})$ 上の導来カテゴリ上の関手を構成し、$E^{(l)}$ と $F^{(l)}$ の作用をカテゴリフィケートすること。
• 最大パラボリック部分代数から誘導関手を用いた短い完全系列を用いて、コムルティプリケーション $\Delta E = E \otimes 1 + 1 \otimes E$ をカテゴリフィケートすること。
• $D^b(\mathcal{O}^n)$ 上に、tangle 操作をモデル化する関手 $\cap_{i,n}$, $\cup_{i,n}$, および $R_{i,n}$ を定義すること。
• 同等のtangle表現に対応するこれらの関手の合成が、導来カテゴリ内でのシフトを除いて同型であることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $V_1^{\otimes n}$ 上の $\mathfrak{sl}_2$ 作用を、$\mathfrak{gl}_n$ のカテゴリカル $\mathcal{O}$ 内の関手を用いてどのようにカテゴリフィケートできるか？
• RQ2 特異ブロックにおける $\mathcal{O}_n$ 内の射影的関手を用いて、$V_1^{\otimes n}$ 上のTemperley-Lieb代数作用を実現できるか？
• RQ3 カテゴリカル $\mathcal{O}_n$ のパラボリック部分カテゴリ間のZuckerman関手が、$V_1^{\otimes n}$ 上の $\mathfrak{sl}_2$ 作用をどのようにカテゴリフィケートするか？
• RQ4 導来カテゴリ内での短い完全系列を用いて、コムルティプリケーションの公式 $\Delta E = E \otimes 1 + 1 \otimes E$ と $\Delta F = F \otimes 1 + 1 \otimes F$ をカテゴリフィケートできるか？
• RQ5 Temperley-Lieb代数のtangle表現に対応する関手が、$D^b(\mathcal{O}^n)$ 内でシフトを除いて同型であるか？

主な発見

• $\mathcal{O}_n = \oplus_{k=0}^n \mathcal{O}_{k,n-k}$ のGrothendieck群は $V_1^{\otimes n}$ に同型であり、$\mathfrak{sl}_2$ 作用は射影的関手 $\mathcal{E}$ と $\mathcal{F}$ を用いて実現される。
• $\mathcal{O}_n$ 内の不分解射影的関手は、$\dot{U}(\mathfrak{sl}_2)$ のLusztigの標準基底の元と一対一対応する。
• コムルティプリケーション $\Delta E = E \otimes 1 + 1 \otimes E$ は、$\mathfrak{gl}_{n+m}$ の最大パラボリック部分代数（$\mathfrak{gl}_n \oplus \mathfrak{gl}_m$ を含む）からの誘導関手を含む短い完全系列によってカテゴリフィケートされる。
• パラボリック部分カテゴリ $\mathcal{O}^{k,n-k}$ と $\mathcal{O}^{k+l,n-k-l}$ 間のZuckerman関手は、$\mathcal{O}^n$ のGrothendieck群上で $E^{(l)}$ と $F^{(l)}$ の作用に下降する。
• $D^b(\mathcal{O}^n)$ 上で、基本的tangleに対応する関手 $\cap_{i,n}$, $\cup_{i,n}$, および $R_{i,n}$ は、Temperley-Lieb代数の関係をカテゴリフィケートする。
• 予想4は、異なるtangle表現が $D^b(\mathcal{O}^n)$ 内でシフトを除いて同型な関手を与えるとし、2-カテゴリカル構造の支援を示唆する。