[論文レビュー] A category of noncrossing partitions

Kiyoshi Igusa|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、型$A_n$の非交叉分割の圏について、対象が古典的な非交叉分割であり、射が二分木の森である、初等的な組合せ論的構成を提供する。この圏の分類空間が局所$CAT(0)$であることを示すことで、それが$K(\pi,1)$であることを証明する。そのために、すべての頂点のリンクがフラッグ複体であることを示し、この圏の基本群が型$A_n$の絵画群（スターシェフ群）に同型であることを確立する。これにより、立方体複体を用いた群のコホモロジーの直接的な位相的実現が得られる。

ABSTRACT

In [17], we introduced ``picture groups'' and computed the cohomology of the picture group of type $A_n$. This is the same group what was introduced by Loday [20] where he called it the ``Stasheff group''. In this paper, we give an elementary combinatorial interpretation of the {\color{blue}``cluster morphism category'' constructed in [13] in the special case of the linearly oriented quiver of type $A_n$.} We prove that the classifying space of this category is locally $CAT(0)$ and thus a $K(π,1)$. We prove a more general statement that classifying spaces of certain ``cubical categories'' are locally $CAT(0)$. The objects of our category are the classical noncrossing partitions introduced by Kreweras [19]. The morphisms are binary forests. This paper is independent of [13] and [17] except in the last section where we use [13] to compare our category with the category with the same name given by Hubery and Krause [9].

研究の動機と目的

• 型$A_n$の非交叉分割の圏について、自己完結的で初等的な組合せ論的記述を提供すること。
• この圏の分類空間が局所$CAT(0)$であることを証明し、それが$K(\pi,1)$であることを示すこと。
• この圏の基本群が型$A_n$の絵画群（スターシェフ群）に同型であることを確立すること。
• ハーバリーとクラウゼーが定義した非交叉分割の圏と比較し、複雑だが構造的な関係を明らかにすること。

提案手法

• 対象は$n$個の全順序集合の古典的な非交叉分割として定義される。
• 射は、ターゲット分割に関して「平行集合」上で定義された二分木の森として構成され、整合的な統合順序を符号化する。
• 対象の後退リンクがフラッグ複体であることを確認することで、この圏が立方体的であることを示す。
• 分類空間はゴロフの基準により分析される：単連結な立方体的空間が$CAT(0)$であるための必要十分条件は、すべての頂点リンクがフラッグ複体であることである。
• 立方体的構造から導かれる生成子と関係式を用いて、基本群を計算する。
• $K_0$-に基づく埋め込みと自己同型作用を用いて、クラスター射の圏およびハーバリーとクラウゼーの定義した圏との比較を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型$A_n$の非交叉分割の圏を、完全に組合せ論的かつ初等的な方法でどのように構成できるか？
• RQ2 この圏の分類空間がなぜ局所$CAT(0)$であり、これは位相的に何を意味するのか？
• RQ3 この圏の基本群は、型$A_n$の絵画群（スターシェフ群）とどのように関係しているか？
• RQ4 本稿で定義された非交叉分割の圏と、ハーバリーとクラウゼーが定義した圏との正確な関係は何か？
• RQ5 この圏の分類空間は、スターシェフのアソシアヘドロンの和集合として実現可能か？そしてこれはコホモロジー計算とどのように関係するか？

主な発見

• 圏$\mathcal{N}\mathcal{P}(n)$の分類空間は局所$CAT(0)$であり、したがって可縮である。これは、すべての頂点のリンクがフラッグ複体であるからである。
• $\mathcal{N}\mathcal{P}(n)$の基本群は、スターシェフ群と呼ばれる絵画群$G(A_n)$に同型であり、$n=3$のときの表示は$\langle x_1, x_2, x_3 \mid x_2 = [x_1, x_3] \rangle$である。
• 圏$\mathcal{N}\mathcal{P}(n)$は、$K_0 \downarrow K_0(KA_2)$というコムマ圏に完全かつ忠実に埋め込まれる。この圏は同型を除いて13の対象を持つ。
• $K_0 \downarrow K_0(KA_2)$の42個のランク1の射のうち、ちょうど11個が$\mathcal{N}\mathcal{P}(3)$の像に属し、これは5つの非交叉分割とその射に対応する。
• $\mathcal{N}\mathcal{P}(3)$の基本群はランク2の自由群であるが、$K_0 \downarrow K_0(KA_2)$の基本群は6生成子の群であり、関係式$x_i = [x_{i-1}, x_{i+1}]$を満たす。
• $\mathcal{N}\mathcal{P}(3)$の$K_0 \downarrow K_0(KA_2)$への埋め込みは、生成子$x_1,x_2,x_3$を大きな群の最初の3つの生成子に写す。