[論文レビュー] A Causal Alternative to Feynman's Propagator

Jurjen F. Koksma, W. Westra|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、フェインマンの伝播関数の因果的でない性質を補うために、ホイーラー伝播関数——場の演算子の時-orderingされた交換関係として定義される——を用いて、1次量子化枠組みにおける実スカラー場の時間発展を記述する因果的代替手法を提案する。全実クライン=ゴルドン場を相対論的波動関数とみなすとともに、ヒルベルト空間の内積を用いて因果的確率密度を定義することで、波動関数とその確率分布が両方とも因果的に伝播することを示した。これにより、観測可能な期待値に変更を加えずに、in-out形式におけるアインシュタインの因果性が回復される。

ABSTRACT

The Feynman propagator used in the conventional in-out formalism in quantum field theory is not a causal propagator as wave packets are propagated virtually instantaneously outside the causal region of the initial state. We formulate a causal in-out formalism in quantum field theory by making use of the Wheeler propagator, the time ordered commutator propagator, which is manifestly causal. Only free scalar field theories and their first quantization are considered. We identify the real Klein Gordon field itself as the wave function of a neutral spinless relativistic particle. Furthermore, we derive a probability density for our relativistic wave packet using the inner product between states that live on a suitably defined Hilbert space of real quantum fields. We show that the time evolution of our probability density is governed by the Wheeler propagator, such that it behaves causally too.

研究の動機と目的

• 標準的なin-out形式におけるフェインマン伝播関数の因果的でない性質——光円錐外でも即時伝播を許容する——を是正すること。
• 複素数で正の周波数成分のみを含む伝播関数の代わりに、明示的に因果的で実数値の伝播関数を用いることで、1次量子化された相対論的量子場理論における因果性を回復すること。
• 正の周波数成分φ₊(x)のみでなく、全実スカラー場φ(x)を相対論的波動関数として再解釈することで、一貫した因果的ダイナミクスを保証すること。
• 場状態のヒルベルト空間内積から導かれる確率密度を導出し、それが時間発展演算子のもとで正規化されたまま因果的に伝播することを示すこと。
• ホイーラー伝播関数が全実場のグリーン関数として機能し、摂動論的場理論の構造を保ちつつ因果的な時間発展を支配することを示すこと。

提案手法

• 著者らは、クライン=ゴルドン方程式を満たす全実スカラー場φ(x)を相対論的波動関数として定義し、非相対論的シュレーディンガー波動関数の一般化とする。
• クライン=ゴルドン方程式の正負の周波数解からなるヒルベルト空間を構築し、その内積から保存される確率密度N₀^KG(x)を定義する。
• 確率密度の時間発展演算はホイーラー伝播関数——時序化された交換関係伝播関数——に従い、光円錐外では恒等的にゼロとなるため、明示的に因果的である。
• 等時刻確率密度はハダマード伝播関数を用いて定義され、その合成則はホイーラー伝播関数のみで表現可能であり、因果的整合性を保証する。
• 場の負の周波数成分が正のエネルギーを寄与することを示し、ストレステンソルによる確認により、物理的でない負エネルギー状態の懸念が解消されることを示す。
• この手法ではホイーラー伝播関数を全実場のグリーン関数として用い、摂動論的理論におけるフェインマン伝播関数の役割を置き換えるが、観測可能な予測は同一のまま保たれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェインマン伝播関数を明示的に因果的な代替物に置き換えることで、量子場理論における因果的in-out形式を構築可能か？
• RQ2 正の周波数成分φ₊(x)のみでなく、全実スカラー場φ(x)が物理的に整合的な相対論的波動関数として機能するか？
• RQ3 場状態のヒルベルト空間内積から導かれる確率密度が、時間発展演算のもとで因果的に伝播可能か？
• RQ4 ホイーラー伝播関数——場の演算子の時序化された交換関係として定義される——が、場自身とその関連確率密度の両方の因果的伝播をどのように保証するか？
• RQ5 ダイナミクスのレベルで明示的な因果性を達成しつつ、観測可能な予測が標準的量子場理論と同一のままであることは可能か？

主な発見

• ホイーラー伝播関数は、引数の過去および未来の光円錐外では恒久的にゼロとなる、明示的に因果的なグリーン関数である。フェインマン伝播関数とは異なり、光円錐外でも非ゼロとなる。
• 全実スカラー場φ(x)は、1次量子化された量子場理論における相対論的波動関数として特定され、非相対論的波動関数の一般化として機能する。
• 場状態のヒルベルト空間内積から導かれる確率密度N₀^KG(x)は、ユニタリ性により1に正規化され、ホイーラー伝播関数に従う時間発展演算のもとで因果的に伝播する。
• 場の負の周波数成分は、ストレステンソルによる確認により正のエネルギーを寄与することが示され、負エネルギー状態の懸念が解消される。
• 等時刻確率密度を定義するために用いられるハダマード伝播関数は、ホイーラー伝播関数のみで表現可能な合成則を満たし、因果的整合性を保証する。
• この手法により、観測量の期待値に変更を加えずに、in-out形式におけるダイナミクスのレベルで因果性が回復され、標準的量子場理論と一致する予測が得られる。