[論文レビュー] A cell-centered implicit-explicit Lagrangian scheme for a unified model of nonlinear continuum mechanics on unstructured meshes

Boscheri W., Chiocchetti S.+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 113被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、非構造格子上における非線形連続体力学の統一モデルであるGodunov-Peshkov-Romenski（GPR）モデルに対する、セル中心型陰・陽解法（IMEX）ラグランジュ型有限体積スキームを提示する。このスキームは空間および時間で2次精度を達成し、幾何的保存則（GCL）を満たし、漸近保存的である。流体、固体、遷移的材料挙動——粘性、熱伝導、弾性、弾塑性反応——を、2次元および3次元のテストケースにおいて高いロバスト性とエネルギー保存性をもって正確に捉えることができる。

ABSTRACT

A cell-centered implicit-explicit updated Lagrangian finite volume scheme on unstructured grids is proposed for a unified first-order hyperbolic formulation of continuum fluid and solid mechanics, namely the Godunov-Peshkov-Romenski (GPR) model. The scheme provably respects the stiff relaxation limits of the continuous model at the fully discrete level, thus it is asymptotic preserving. Furthermore, the GCL is satisfied by a compatible discretization that makes use of a nodal solver to compute vertex-based fluxes that are used both for the motion of the computational mesh as well as for the time evolution of the governing PDEs. Second order of accuracy in space is achieved using a TVD piecewise linear reconstruction, while an implicit-explicit (IMEX) Runge-Kutta time discretization allows the scheme to obtain higher accuracy also in time. Particular care is devoted to the design of a stiff ODE solver, based on approximate analytical solutions of the governing equations, that plays a crucial role when the visco-plastic limit of the model is approached. We demonstrate the accuracy and robustness of the scheme on a wide spectrum of material responses covered by the unified continuum model that includes inviscid hydrodynamics, viscous heat conducting fluids, elastic and elasto-plastic solids in multidimensional settings.

研究の動機と目的

• 非構造格子上における連続体力学の統一ハイパボリックGPRモデルに対する、ロバストで2次精度のラグランジュ型有限体積スキームの開発を目的とする。
• GPRモデルの硬い緩和極限（ナビエ＝ストークス＝フォーリエ極限および弾性極限を含む）を正確に捉えることで、スキームの漸近保存的性質を保証することを目的とする。
• メッシュ運動とPDEの進化の両方のための頂点ベースのフラックスを計算するノード型ソルバーを用いて、幾何的保存則（GCL）を満たすことを目的とする。
• 同一の統一フレームワーク内で、理想流体、粘性流体、弾性固体、および弾塑性材料といった多様な材料応答を正確にシミュレートできるようにすることを目的とする。
• 半解析的ODEソルバーを用いて緩和源項を陰的に取り扱うことで、硬い領域における安定性と精度を達成することを目的とする。

提案手法

• 保存変数（質量、運動量、エネルギー）をセル中心に格納し、数値フラックスをノード型リーマンソルバーを用いて計算するセル中心型有限体積フレームワークを採用する。
• メッシュ運動は、隣接セル間の1次元リーマン問題から得られるノード速度によって支配され、離散的ガウスの定理を介してGCLを満たす。
• 保存変数のTVD（全変動減衰）線形再構成を用いて、空間2次精度を達成する。
• 硬い緩和項を陰的に、フラックス項を陽的に取り扱う、陰・陽解法（IMEX）のルンゲ＝クッタ時間離散化を採用する。
• GPRモデルの硬い緩和項、特にナビエ＝ストークス＝フォーリエ極限およびハイパーエラスティック極限付近において、特に有効な、独自の半解析的ODEソルバーを開発する。
• 回転自由度が無視できる場合に簡略化される、歪みテンソル（計量テンソル）の対称成分のみを進化させる、簡略化されたGPRモデルにこのスキームを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非構造格子上における統一GPRモデルに対して、GCLを満たし、漸近保存的であるセル中心型ラグランジュ型有限体積スキームを構築できるか？
• RQ2 硬い緩和源項を有するハイパボリックPDE系に対して、ラグランジュフレームワークで空間および時間の2次精度を達成するにはどうすればよいか？
• RQ3 同一の数値スキームが、理想流体から弾塑性固体に至るまでの全範囲の材料応答を、1つの統一モデル内で正確にシミュレートできるか？
• RQ4 半解析的ODEソルバーは、硬い緩和極限下でのスキームの安定化に果たす役割は何か？また、ナビエ＝ストークス＝フォーリエ方程式との整合性をどのように保証するか？
• RQ5 大変形および材料遷移を伴う複雑な多次元テストケースにおいて、エネルギー保存性およびロバスト性の観点から、このスキームはどのように性能を発揮するか？

主な発見

• LGPRスキームは、製造解決と正確なリーマン問題の収束解析により、空間および時間で2次精度を達成していることが確認された。
• スキームは漸近保存的である：任意に小さな緩和時間においても、ナビエ＝ストークス＝フォーリエ極限を正しく捉え、数値解が期待される粘性・熱伝導性流体挙動に収束する。
• エネルギー保存性が機械精度まで保持されていることが、ω₀ = 100およびω₀ = 200のねじれ柱テストケースで示された。
• Kovalskiiテストにおいて、弾性から弾塑性への遷移を正確にシミュレートできており、数値結果は塑性波速度および応力の時間発展について解析解とよく一致している。
• ねじれ柱のような複雑な3次元現象を、強い圧縮および回転が加わっても、不自然な振動や非物理的圧力分布を示さずに正確にモデル化できた。
• 極限ケースにおいて、既存の手法に還元される：理想流体極限では[83]の流体力学スキームを回復し、弾性極限では[27]のハイパーエラスティシティスキームを回復する。