[論文レビュー] A cell-centered Lagrangian ADER-MOOD finite volume scheme on unstructured meshes for a class of hyper-elasticity models

Walter Boscheri, Raphaël Loubère+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2021

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非構造格子上で2次元および3次元の超弾性モデルを解くために、セル中心型ラグランジュ有限体積法とADER時間離散化、および事後的MOOD制限を組み合わせた手法を提案する。この手法は2次精度を達成し、不連続性においてもロバスト性を保ち、空間再構築の整合性、GCL準拠、およびセル内力モデルを用いて物理的妥当性を確保する。大変形および材料相互作用を伴うベンチマーク問題を用いた検証により、その有効性が示された。

ABSTRACT

In this paper we present a conservative cell-centered Lagrangian finite volume scheme for the solution of the hyper-elasticity equations on unstructured multidimensional grids. The starting point of the new method is the Eucclhyd scheme, which is here combined with the a posteriori Multidimensional Optimal Order Detection (MOOD) limiting strategy to ensure robustness and stability at shock waves with piece-wise linear spatial reconstruction. The ADER (Arbitrary high order schemes using DERivatives) approach is adopted to obtain second-order of accuracy in time as well. This method has been tested in an hydrodynamics context and the present work aims at extending it to the case of hyper-elasticity models. Such models are presented in a fully Lagrangian framework and the dedicated Lagrangian numerical scheme is derived in terms of nodal solver, GCL compliance, subcell forces and compatible discretization. The Lagrangian numerical method is implemented in 3D under MPI parallelization framework allowing to handle genuinely large meshes. A relative large set of numerical test cases is presented to assess the ability of the method to achieve effective second order of accuracy on smooth flows, maintaining an essentially non-oscillatory behavior and general robustness across discontinuities and ensuring at least physical admissibility of the solution where appropriate. Pure elastic neo-Hookean and non-linear materials are considered for our benchmark test problems in 2D and 3D. These test cases feature material bending, impact, compression, non-linear deformation and further bouncing/detaching motions.

研究の動機と目的

• 流体動力学に当初開発された2次精度のセル中心型ラグランジュ有限体積スキームを、2次元および3次元の超弾性モデルに拡張すること。
• 衝撃波および大変形の存在下でもロバスト性と安定性を確保するため、事後的MOOD制限戦略を採用すること。
• 超弾性材料の文脈において、幾何的保存則（GCL）準拠と整合的離散化を維持すること。
• 複雑な境界条件を扱える大規模な非構造格子を対象とした3次元並列数値ソルバーの実装。
• 非線形弾性、衝突、曲げ、反発などの材料挙動を含むベンチマーク問題における手法の検証。

提案手法

• 非構造格子上でのセル中心型有限体積法を採用し、節点ソルバーは全エネルギー保存則とGCL準拠に基づく。
• 空間再構築には線形再構築を用い、振動を制御し物理的妥当性を保証するため、事後的MOOD制限を適用。
• 時間離散化はADER手法により実現され、局所リーマン問題の解法を通じて2次精度の時間積分が達成される。
• 等方的超弾性材料（ネオ・フック型および非線形モデルを含む）の構成則の整合的離散化とセル内力の導入。
• 境界条件は節点ソルバーにより処理され、引っ張り力、速度、対称性条件を幾何的に整合性を持って扱える。
• MPI並列化を用いた実装により、複雑な境界条件を有する大規模3次元非構造格子シミュレーションが可能になった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ADER-MOOD有限体積フレームワークは、流体動力学から2次元および3次元の超弾性モデルへと成功裏に拡張可能か？
• RQ2 事後的MOOD制限戦略は、特に大変形下における物理的妥当性の維持を果たすために、超弾性に適用された場合にどの程度有効か？
• RQ3 滑らかな流れでは2次精度を維持しつつ、不連続性を越えて振動を抑えることができるか？
• RQ4 曲げ、ねじり、衝突、反発といった複雑な材料挙動をシミュレートする際、この手法はどの程度有効か？
• RQ5 材料の剥離、滑り、衝突といった複雑な境界条件に対しても、ロバスト性と安定性を保てるか？

主な発見

• 2次元および3次元の滑らかな流れにおいて、収束解析により空間および時間方向で2次精度が確認された。
• 極めて歪んだ格子でも、衝撃波や不連続性を越えて本質的に非振動的であることが確認された。
• 事後的MOOD制限は、大変形および材料分離を伴うすべてのテストケースにおいて、物理的に不適切な解を防止し、ロバスト性を維持した。
• 大規模3次元非構造格子において、並列スケーラビリティが良好であり、複雑な産業スケール問題のシミュレーションが可能となった。
• ゼリー状のドロップの衝突や中空バーの反発といったベンチマーク問題において、非線形変形、跳ね返り、破断といった複雑な材料応答を正確に捉えた。
• 超弾性材料を含むすべてのテストケースにおいて、解の物理的妥当性（エネルギーバランス、応力の時間発展など）が保持された。