[論文レビュー] A census of all genus 4 curves over the field with 2 elements

Xavier Xarles|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限体 $\mathbb{F}_2$ 上のすべての genus 4 曲線の同型類について完全な分類を提示し、多項式への群作用と代数幾何学的技法を用いて、双曲的および三角的ケースの両方を計算している。主な貢献は、$\mathbb{F}_2$ 上の genus 4 曲線の同型類を16個明示的に列挙したことであり、点数やウェイリ多項式などの不変量を含む詳細な方程式が与えられており、いくつかの曲線は拡張体上での最大点数を達成している。

ABSTRACT

We explain how we computed equations for all genus 4 curves defined of the field with 2 elements, up-to-isomorphism, and some of the data we obtained. We give descriptions also of nice models for genus 4 curves over characteristic 2 fields, in both the hyperelliptic case and the trigonal case.

研究の動機と目的

• 定義された $\mathbb{F}_2$ 上の genus 4 曲線のすべての同型類を計算すること。
• 代数的および幾何学的不変量を用いて、$\mathbb{F}_2$ 上の双曲的および三角的曲線を分類すること。
• 各同型類に対して明示的な方程式と不変量（例：ウェイリ多項式、点数）を提供すること。
• $k=1,\dots,5$ に対して $\mathbb{F}_{2^k}$ 上で最大の有理点数を達成する曲線を特定し、その性質を同定すること。

提案手法

• 標準的モデルを用いた双曲的曲線：$q(x)$ をモニックとし、次数制約を課えた $y^2 + q(x)y = p(x)$。
• $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{F}_2)$-作用を多項式に適用する：$\psi_n(A)(q) = (cx+d)^n q\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)$ を用いて同型類を分類。
• $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{F}_2)$ による次数5多項式の作用の軌道分解を用いて、$\overline{\mathbb{F}_2[x]_5}$ の代表元を計算。
• 幾何的不変量を用いて、$\mathbb{P}^3$ 内の二次曲面と三次曲面の完全交線として三角的曲線を列挙。
• ウェイリ多項式と $\mathbb{F}_{2^k}$ 上での点数計算を用いて、自己同型類を区別し、最大曲線を同定。
• 双曲的モデルにおける $p(x)$ と $q(x)$ の次数および係数解析により、同型でないことを検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのくらいの同型類の genus 4 曲線が $\mathbb{F}_2$ 上に存在し、それらの定義方程式は何か？
• RQ2 $k=1,\dots,5$ に対して $\mathbb{F}_{2^k}$ 上で最大の有理点数を達成する $\mathbb{F}_2$ 上の genus 4 曲線はどれか？
• RQ3 同一のジャコビアンをもつ曲線が異なる定義方程式を持つことはあり得るか？ もしあるならば、そのような曲線はいくつ存在するか？
• RQ4 最大点数を達成する曲線のジャコビアンの2- torsion部分群の構造は何か？
• RQ5 同一のウェイリ多項式を持つ複数の非同型曲線が存在するか？ もしあるならば、それらは幾何学的にどのように関係しているか？

主な発見

• 正確に16個の同型類の genus 4 曲線が $\mathbb{F}_2$ 上に存在し、そのうち4つは双曲的、12つは三角的である。
• 4つの双曲的曲線は同一のウェイリ多項式を持ち、したがって同種のジャコビアンを持つ。方程式の違いは $p(x)$ の定数項のみである。
• 1つの曲線が $\mathbb{F}_{2^5}$ 上で最大の71個の有理点を達成し、$a_5 = 14$ を満たす $\mathbb{F}_2$ 上で定義された曲線の中で唯一のものである。
• $|C(\mathbb{F}_2)| = 1$ かつ $|C(\mathbb{F}_{2^4})| = 45$ を満たす曲線は、$\mathbb{F}_{2^4}$ 上で可能な最大点数を達成する唯一の genus 4 曲線である。
• 異なる二次曲面成分を持つ2つの異なる三角的曲線は同種のジャコビアンを持つ。また、双曲的曲線のジャコビアンは4つの異なる三角的曲線と同種である。
• 係数が $a_1 = 3$, $a_2 = 3$, $a_3 = 2$, $a_4 = 3$ の曲線のジャコビアンの2- torsion部分群は $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$ に同型である。