[論文レビュー] A central limit theorem for random walk in random environment on marked Galton-Watson trees

Gabriel Faraud|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、i.i.d. 辺重みを伴うマーク付きガルトン＝ワトソン木上の偏りのあるランダムウォークについて、中心極限定理を確立する。これはペレスとツァイトゥーニの結果を拡張したものであり、再帰性／非再帰性の基準を示し、環境のモーメント条件のもとで、拡散スケーリングを伴う関数中心極限定理が成り立つことを示し、クエンチド・ディスオーダーが存在するにもかかわらず、クエンチド・ルールにおけるガウス型フラクチュエーションが確認される。

ABSTRACT

In this article we focus on a general model of random walk on random marked trees. We prove a recurrence criterion, analogue to the recurrence criterion proved by R. Lyons and Robin Pemantle (1992) in a slightly different model. In the critical case, we obtain a criterion for the positive/null recurrence. Several regimes appear, as proved (in a similar model), by Y. Hu and Z. Shi (2007). We focus on the "diffusive" regime and improve their result in this case, by obtaining a functional Central Limit Theorem. Our result is also an extension of a result by Y. Peres and O. Zeitouni (2008), obtained in the setting of biased random walk in Galton-Watson trees.

研究の動機と目的

• ツァイトゥーニの再帰基準を、木構造と遷移確率に依存性をもつより広いクラスのマーク付きガルトン＝ワトソン木へ一般化すること。
• 環境のモーメント条件のもとで、このような確率的木上の偏りのあるランダムウォークに対して関数中心極限定理を確立すること。
• クエンチド・ディスオーダーが存在する状況において、ウォークのクエンチド漸近的挙動、特にスケーリング極限とフラクチュエーションを分析すること。
• ペレスとツァイトゥーニがガルトン＝ワトソン木上の偏りのあるランダムウォークに対して得た結果を、i.i.d. 辺重みを含むより一般的なモデルへ拡張すること。

提案手法

• 確率測度 $ q $ を用いて、$ \mathbb{N} \times (\mathbb{R}_+^*)^\mathbb{N} $ 上で定義されたマーク付きガルトン＝ワトソン木を構築し、木構造と遷移重みの間の依存性を許容する。
• i.i.d. 辺重み $ A(x) $ から導かれる遷移確率を用いて、マルコフ的かつ木構造を尊重するランダムウォークを定義する。
• 電気回路ネットワークと容量付きネットワークの類似性を用い、導電度 $ C_x = \prod_{e < z \leq x} A(z) $ を用いて、到達時間と再帰性を分析する。
• アズマの不等式とマルティンゲール技法を用いて、特にクエンチド・コンディショニング下でのウォークの位置の逸脱を制御する。
• 再生過程とi.i.d. 増分の列を用いたカップリング論法を用いて、ウォークの時間的挙動を制御する。
• 優越収束とボレル＝カンテーリ型の議論を用いて、稀な事象（例えば、大規模な逸脱）が、アンナール測度のもとで確率が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーク付きガルトン＝ワトソン木上の偏りのあるランダムウォークが、どのような条件下で関数中心極限定理を満たすか？
• RQ2 環境のモーメントが重尾的または有界である場合、ウォークのクエンチド・ルールの漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ3 ツァイトゥーニの再帰基準は、木構造と遷移重みが依存するモデルへ拡張可能か？
• RQ4 アンナール測度のもとでのウォークの位置のスケーリング極限は何か？ そして、ブラウン運動に収束するか？
• RQ5 大偏差や稀な事象（長時間の逸脱や大規模な変位など）は、中心極限定理への収束にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、アンナール測度のもとで、マーク付きガルトン＝ワトソン木上の偏りのあるランダムウォークに対して、拡散スケーリング $ t^{1/2} $ を伴う関数中心極限定理を証明し、ガウス型フラクチュエーションが確認される。
• 環境の $ \rho(\alpha) $ におけるモーメント条件のもとで、$ \mathbb{P}_{\text{MT}}(\max_{s \leq t} |Y_s| \geq t^\alpha) \to 0 $ が $ \alpha < 1/2 $ に対して成り立つことが示され、これは劣拡散的フラクチュエーションを示している。
• 大規模な逸脱や大規模な変位、例えば $ W_{X_s} > t^{1/4 - \varepsilon} $ の確率は $ t \to \infty $ のとき消えることが確認され、スケーリングされたウォークのタイトネスが裏付けられる。
• 本研究は、木構造と重み構造の依存性を許容するが、中心極限定理の挙動を保つモデルに一般化することで、ペレスとツァイトゥーニの結果を拡張している。
• 証明は、モーメントバウンドとi.i.d. 増分とのカップリングを用いて、稀な集合への訪問回数を制御し、アンナール測度のもとでこのような事象が無視可能であることを示している。
• 本稿は、典型的な環境条件下でのウォークのクエンチド・ルールが、拡散スケーリングの後、ブラウン運動に収束することを確認している。クエンチド・ディスオーダーが存在するにもかかわらず、そのように振る舞う。