[論文レビュー] A central limit theorem for the annealed path measures for the stochastic heat equation and the continuous directed polymer in $d\geq 3$

Chiranjib Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 3$次元における確率的熱方程式および連続的指向ポリマーに関連する冷却パス測度に対して、中心極限定理を確立する。長距離時間的相関および特異的空間的相互作用を有する無限次元ギブス測度の存在と一意性を統一的枠組みで証明し、明示的かつ正の分散を持つ非退化ガウス極限への収束を示す。

ABSTRACT

We consider a class of Gibbs measures defined with respect to increments of $d$-dimensional Wiener measure. The underlying Hamiltonian is defined by interactions that are invariant under uniform translations of paths, and include {\it{long-range}} dependence in the time variable and {\it{unbounded (singular)}} interactions attached to the space variables, for which perturbative techniques from one-dimensional spin systems do not apply. To handle such class of interactions we develop a unified approach to prove existence and uniqueness of the infinite dimensional Gibbs measures and show validity of a central limit theorem for the rescaled process of increments under the Gibbs measure and obtain an explicit expression for the limiting variance which is strictly positive. As particular models of interest in quantum mechanics, our results cover the Nelson model and the polaron problem with ultraviolet cut off, both carrying bounded spatial interaction with long-range (power law) decay in time, as well as the Frohlich polaron which is singular in space with a short range interaction in time. As a further application, we study the solution of the multiplicative-noise stochastic heat equation in spatial dimensions $d\geq 3$. When the noise is mollified both in time and space, we show that the averages of the diffusively rescaled solutions converge pointwise to the solution of a diffusion equation whose coefficients are homogenized in this limit.

研究の動機と目的

• 長距離時間的および非有界空間的相互作用を有するパス測度のクラスに対する無限次元ギブス測度の存在と一意性を確立すること。
• ギブス測度の下でのスケーリングされた増分過程の極限挙動を解析し、ガウス分布への収束を証明すること。
• 中心極限定理における極限分散に対して明示的かつ正の表現を与えること。
• この枠組みを紫外カットオフ付きネルソン模型やフローリヒポラロンといった量子力学的モデルに適用すること。
• $d \geq 3$ における滑らか化された乗法的ノイズを有する確率的熱方程式の均質化を研究すること。

提案手法

• 翻訳不変ハミルトニアンを有する $d$ 次元ウィーナー測度の増分を用いて、ギブス測度のクラスを形式化する。
• 摂動論的手法を超える長距離時間的依存性および特異的空間的相互作用を取り扱うために、独創的な解析的枠組みを導入する。
• 関数解析的技法を用いて、無限次元ギブス測度の存在と一意性を証明する。
• パス増分にスケーリングを施し、漸近解析を用いて極限分散を導出する。
• 滑らか化されたノイズを有する確率的熱方程式の解を、ギブス測度の枠組みで解析する。
• 拡散的スケーリングされた解の点ごとの収束を、有効係数を持つ均質化拡散方程式の解に示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d \geq 3$ において、長距離時間的および特異的空間的相互作用を有するパス測度に対して中心極限定理を確立できるか？
• RQ2 冷却ギブス測度の下でのスケーリングされた増分過程の極限分散は何か？ かつそれは正であるか？
• RQ3 得られた結果は、紫外カットオフ付きネルソン模型やフローリヒポラロンといった量子力学的モデルにどのように適用できるか？
• RQ4 滑らか化された確率的熱方程式の解は、拡散的スケーリング極限において均質化拡散方程式に収束するか？
• RQ5 高次元パス測度における非摂動的・特異的相互作用を統一的に取り扱う枠組みを構築できるか？

主な発見

• 指定されたハミルトニアンのクラスに対して、長距離および特異的相互作用を有する無限次元ギブス測度は存在し、一意的である。
• ギブス測度の下でのスケーリングされた増分過程は、正の極限分散を持つ中心極限定理を満たす。
• 極限分散の明示的表現が導出され、それが正であることが示され、非退化ガウスゆらぎが確認された。
• この枠組みは、紫外カットオフ付きネルソン模型およびフローリヒポラロンに適用可能であり、有界および特異的空間的相互作用の両方をカバーする。
• $d \geq 3$ における滑らか化された確率的熱方程式に対して、拡散的スケーリングされた解は点ごとに均質化拡散方程式の解に収束する。
• 均質化極限における有効拡散係数は適切に定義されており、元のノイズ構造の平均化から生じる。