[論文レビュー] A central limit theorem for the sample autocorrelations of a Lévy driven continuous time moving average process

Serge Cohen, Alexander Lindner|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

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ひとこと要約

本稿は、Lévy駆動連続時間移動平均過程の標本自己相関に関する中心極限定理を確立し、離散時間モデルとは異なり、漸近正規性が第四モーメント補正項を伴って成立することを示している。主な貢献は、漸近分散にLévy過程の第四モーメントに依存する余分な項が含まれることであり、これは単純な離散時間近似を無効にし、分数Lévy過程におけるHurst指数の漸近正規推定を可能にする。

ABSTRACT

In this article we consider Lévy driven continuous time moving average processes observed on a lattice, which are stationary time series. We show asymptotic normality of the sample mean, the sample autocovariances and the sample autocorrelations. A comparison with the classical setting of discrete moving average time series shows that in the last case a correction term should be added to the classical Bartlett formula that yields the asymptotic variance. An application to the asymptotic normality of the estimator of the Hurst exponent of fractional Lévy processes is also deduced from these results.

研究の動機と目的

• Lévy駆動連続時間移動平均過程の標本平均、自己共分散、自己相関の漸近正規性を確立すること。
• 連続時間モデルと離散時間モデルにおける標本自己相関の漸近分散の差異を特定すること。
• 連続時間過程に適した第四モーメント補正項を含むバートレットの公式の修正版を導出すること。
• 得られた結果を、分数Lévy過程におけるHurst指数推定量の漸近正規性への応用すること。
• 標本化された過程 $(X_{n\triangle})_{n\in\mathbb{Z}}$ が一般に独立同分布のノイズを持つ離散時間移動平均過程として取り扱えるとは限らないことを示すこと。

提案手法

• プロセスを $X_t = \mu + \int_{\mathbb{R}} f(t-s) \, dL_s$ とモデル化し、$L$ を有限分散を持つ零平均Lévy過程とし、$f \in L^2(\mathbb{R})$ とする。
• $n \to \infty$ の下で、標本平均 $\overline{X}_{n;\Delta}$、標本自己共分散 $\widehat{\gamma}_{n;\Delta}(\Delta h)$、標本自己相関 $\widehat{\rho}_{n;\Delta}(\Delta h)$ の漸近分布を分析する。
• スペクトル表現および関数中央極限定理の技法を用いて、Lévyの第四モーメントを組み込んだ漸近分散を導出する。
• ${\sqrt{n}(\widehat{\rho}_{n;\Delta}(\Delta h) - \rho(h))}$ が補正された分散公式に従って正規分布に収束する条件を確立する。
• 分数Lévy過程への応用のために、カーネル $f_d(s) = (s_+)^d - (s_-)^d$ を分析し、可積分性およびモーメント条件を検証する。
• 増分過程 $Z_t = X_t - X_{t-1}$ の標本自己相関を用いて、Hurst指数 $d$ の一貫性と漸近正規性を持つ推定量を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy駆動連続時間移動平均過程の標本自己相関は、中心極限定理を満たすか？
• RQ2 古典的バートレットの公式とは異なり、連続時間モデルにおける標本自己相関の漸近分散はどのように異なるか？
• RQ3 駆動Lévy過程の第四モーメントは、標本自己相関の漸近分布においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 分数Lévy過程のHurst指数は、離散時間サンプリングから一貫的かつ漸近正規に推定可能か？
• RQ5 漸近的分布的性質の観点から、標本化された過程 $X_{n\Delta}$ は、独立同分布ノイズを持つ離散時間移動平均過程と同等か？

主な発見

• 連続時間過程の標本自己相関は漸近正規であるが、その漸近分散には、離散時間モデルに存在しないLévy過程の第四コモーメントに比例する余分な項が含まれる。
• この補正項により、連続時間過程の標本化が一般に独立同分布ノイズを持つ離散時間移動平均過程として取り扱えるという単純な仮定が無効になる。
• $d < 1/4$ の場合、$X_t$ の標本自己相関に基づく推定量 $\widehat{d}$ は、$\sqrt{n}(\widehat{d} - d) \to N(0, \sigma^2)$ として漸近正規である。
• $d \in (0, 1/2)$ の場合、増分過程 $Z_t = X_t - X_{t-1}$ の標本自己相関に基づく推定量 $\tilde{d} = \phi^{-1}(\rho_n^*(1))$ に対しても同様に漸近正規性が成立する。
• $f_d(s)$ 及びその差分 $\tilde{f}_d(s)$ は $L^2(\mathbb{R}) \cap L^4(\mathbb{R})$ に属し、中心極限定理の有効性を保証する。
• 漸近分散の式に現れる関数 $g_0(u)$ は有界であり、$L^2([0,1])$ に属するため、関数中央極限定理の適用が確認される。