[論文レビュー] A characterisation of the Daugavet property in spaces of Lipschitz functions

Luis C. García‐Lirola, A. Procházka+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 30被引用数 44

ひとこと要約

本稿では、完備な距離空間 $M$ 上のリプシッツ関数空間 ${\mathrm{Lip}}_0(M)$ がダウガベト性質をもつのは、$M$ が長さ空間であるときかつそのときに限り、という結果を確立している。この結果は、リプシッツフリー空間 $\mathcal{F}(M)$ におけるダウガベト性質の特徴づけを含んでおり、$M$ がコンパクトな場合、性質が成り立つのは $M$ が凸であるか、または $\mathcal{F}(M)$ の単位球に強く露出する点がないときであると示している。

ABSTRACT

We study the Daugavet property in the space of Lipschitz functions $\\operatorname{Lip}_0(M)$ for a complete metric space $M$. Namely we show that $\\operatorname{Lip}_0(M)$ has the Daugavet property if and only if $M$ is a length space. This condition also characterises the Daugavet property in the Lipschitz free space $\\mathcal{F}(M)$. Moreover, when $M$ is compact, we show that either $\\mathcal{F}(M)$ has the Daugavet property or its unit ball has a strongly exposed point. If $M$ is an infinite compact subset of a strictly convex Banach space then the Daugavet property of $\\operatorname{Lip}_0(M)$ is equivalent to the convexity of $M$.

研究の動機と目的

• 完備な距離空間 $M$ に対して、空間 ${\mathrm{Lip}}_0(M)$ がダウガベト性質をもつための条件を特徴づけること。
• リプシッツフリー空間 $\mathcal{F}(M)$ がダウガベト性質をもつための条件を特定すること。
• ダウガベト性質と $M$ の幾何的構造、特に凸性および $\mathcal{F}(M)$ の単位球における強く露出する点の不在との関係を調査すること。
• 収縮拡張性質を用いて、ベクトル値リプシッツ空間および射影テンソル積へのダウガベト性質の拡張を行うこと。
• $M$ が厳密凸バナッハ空間のコンパクト部分集合であるとき、${\mathrm{Lip}}_0(M)$ がダウガベト性質をもつのかという未解決の問題を解決すること。

提案手法

• ${\mathrm{Lip}}_0(M)$ がダウガベト性質をもつのは $M$ が長さ空間であるときかつそのときに限り、という主張を、幾何学的および関数解析的技法を用いて証明すること。
• $M$ が長さ空間であることと $\mathcal{F}(M)$ がダウガベト性質をもつことが同値であることを、双対性と等長同型を活用して確立すること。
• スライスと支援汎関数を用いて $\mathcal{F}(M)$ の単位球における強く露出する点を特徴づけ、その不在に関する基準を導出すること。
• ペア $(M,X)$ に対する収縮拡張性質を用いて、ベクトル値空間 ${\mathrm{Lip}}_0(M,X)$ および射影テンソル積 $\mathcal{F}(M)\widehat{\otimes}_\pi X$ へのダウガベト性質の拡張を行うこと。
• McShane-Whitneyの拡張定理と局所的測地線構造を用いて、ほぼ最適なリプシッツ定数を持つ近似点のペアを構成すること。
• ランク1作用素に対するダウガベト方程式 $\|T + I\| = 1 + \|T\|$ と単位球の幾何的性質との等価性を活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備な距離空間 $M$ に対して、空間 ${\mathrm{Lip}}_0(M)$ がダウガベト性質をもつのはいつか？
• RQ2 $\mathcal{F}(M)$ におけるダウガベト性質を特徴づける、$M$ の正確な幾何的条件は何か？
• RQ3 コンパクトな $M$ に対して、${\mathrm{Lip}}_0(M)$ のダウガベト性質が $M$ の凸性と同値となる条件は何か？
• RQ4 ペア $(M,X)$ が収縮拡張性質をもつとき、${\mathrm{Lip}}_0(M)$ から ${\mathrm{Lip}}_0(M,X)$ や $\mathcal{F}(M)\widehat{\otimes}_\pi X$ へのダウガベト性質の拡張は成立するか？
• RQ5 $B_{\mathcal{F}(M)}$ に強く露出する点がないことは、$M$ が長さ空間であることを示唆する十分条件か？

主な発見

• ${\mathrm{Lip}}_0(M)$ がダウガベト性質をもつのは、$M$ が長さ空間であるときかつそのときに限り、である。
• $\mathcal{F}(M)$ がダウガベト性質をもつのは、$M$ が長さ空間であるときかつそのときに限り、である。
• コンパクトな $M$ に対して、${\mathrm{Lip}}_0(M)$ がダウガベト性質をもつのは、$M$ が凸であるときかつそのときに限り、である。
• コンパクトな $M$ に対して、$\mathcal{F}(M)$ がダウガベト性質をもつのは、その単位球に強く露出する点がないときかつそのときに限り、である。
• $M$ が原点付きの長さ空間であり、$(M,X)$ が収縮拡張性質をもつとき、${\mathrm{Lip}}_0(M,X)$ はダウガベト性質をもつ。
• $\mathcal{F}(M)$ がダウガベト性質をもつことと、$(M,X^*)$ が収縮拡張性質をもつことから、$\mathcal{F}(M)\widehat{\otimes}_\pi X$ はダウガベト性質をもつ。