[論文レビュー] A characterisation of toric LCK manifolds

Nicolina Istrati|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、Kählerでない任意のコンパクトなトーリック局所的コンフォーマルKähler（LCK）多様体が、トーリックVaisman構造をもつことを証明し、コンパクトなトーリックLCK多様体の分類を完成させる。証明では、平均化を用いて新しいLCK形式を構成し、そのコンフォーラル類内に明示的にVaisman計量を実現し、そのような多様体がその普遍被覆（Kähler錐）を介してコンパクトなトーリックSasaki多様体に対応することを示す。

ABSTRACT

We prove that a compact toric locally conformally Kähler manifold which is not Kähler admits a toric Vaisman structure, a fact which was conjectured in \cite{mmp}. This is the final step leading to the classification of compact toric locally conformally Kähler manifolds started in \cite{p} and \cite{mmp}. We also show, by constructing an example, that unlike in the symplectic case, toric locally conformally symplectic manifolds are not necessarily toric locally conformally Kähler.

研究の動機と目的

• コンパクトでないKählerなトーリックLCK多様体がトーリックVaisman構造をもつという予想を解決すること。
• それらの多様体をその普遍被覆の幾何と関連付けることで、コンパクトなトーリックLCK多様体の分類を完成させること。
• トーリック局所的コンフォーマルシンプレクティック（LCS）多様体が、シンプレクティックの場合と同様に、常にトーリックLCKであるとは限らないことを対比的に示すこと。

提案手法

• LCK多様体上のホロモーフィックトーラス作用を、その最小Kähler被覆上の複素化トーラスへ拡張する。
• 普遍被覆のデック群を複素化トーラスの部分群として特定し、それを1パラメータ部分群へ拡張する。
• 平均化を用いて新しいLCK形式を構成し、トーラス作用とコンフォーラル不変性の両方に適合させる。
• 適切な関数を定義して、そのコンフォーラル類内に明示的にVaisman計量を構成し、Vaisman条件を満たすことを示す。
• 正則なコンフォーラルベクトル場BとJBの存在を用い、リー形式およびその性質を通じてVaisman構造を導出する。
• 特にLermanの分類結果を応用し、Sasakiおよび接触幾何の結果を用いて、トーリックLCK構造とコンパクトなトーリックSasaki多様体を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kählerでない任意のコンパクトなトーリックLCK多様体は、トーリックVaisman構造をもつか？
• RQ2 その普遍被覆の幾何を用いることで、コンパクトなトーリックLCK多様体の分類を完成させられるか？
• RQ3 シンプレクティックの場合と同様に、トーリックLCS多様体のクラスは、トーリックLCK多様体のクラスを厳密に包含するか？
• RQ4 トーリックLCS多様体は、LCK構造をもたないことがあるか？ もしそうなら、どのような条件下でそうなるか？
• RQ5 トーリックLCK多様体の1番目のベッチ数とその幾何的構造との正確な関係は何か？

主な発見

• Kählerでない任意のコンパクトなトーリックLCK多様体は、トーリックVaisman構造をもつ。これは[12]における予想を確認する。
• そのような多様体の普遍被覆は、コンパクトなトーリックSasaki多様体を底面とするKähler錐である。これにより幾何的対応関係が確立される。
• コンパクトなトーリックLCK多様体の1番目のベッチ数は、Kählerでなければ1であり、Kählerであれば0である。これは補題5.4で示されている。
• 反例を構成することで、トーリックLCS多様体が常にトーリックLCKであるとは限らないことが示され、例の多様体ではb₁(M) = 4である。
• 正則なコンフォーラルベクトル場BとJBの存在は、コンフォーラル類内にVaisman計量が存在することを示し、明示的な構成を可能にする。