[論文レビュー] A Characterization for Decidable Separability by Piecewise Testable Languages

Czerwiński, Wojciech, Wim Martens+3 more|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|Oct 4, 2014

semigroups and automata theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、与えられた言語クラス 𝒞 に対して、部分的テスト可能言語（PTL）による分離可能性が決定可能であるための特徴付けを提供する。この問題は、言語クラス 𝒞 における非有界性問題の決定可能性と、散在部分文字列順序における下方向閉包の有効な正則性に帰着されることを示している。主な結果は、文脈自由言語やベクトル加算システムの言語といったクラスですでに PTL におけるメンバーシップが決定不能であるにもかかわらず、一般化された条件が PTL 分離可能性の決定可能性を保証することである。

ABSTRACT

The separability problem for word languages of a class $\mathcal{C}$ by languages of a class $\mathcal{S}$ asks, for two given languages $I$ and $E$ from $\mathcal{C}$, whether there exists a language $S$ from $\mathcal{S}$ that includes $I$ and excludes $E$, that is, $I \subseteq S$ and $S\cap E = \emptyset$. In this work, we assume some mild closure properties for $\mathcal{C}$ and study for which such classes separability by a piecewise testable language (PTL) is decidable. We characterize these classes in terms of decidability of (two variants of) an unboundedness problem. From this, we deduce that separability by PTL is decidable for a number of language classes, such as the context-free languages and languages of labeled vector addition systems. Furthermore, it follows that separability by PTL is decidable if and only if one can compute for any language of the class its downward closure wrt. the scattered substring ordering (i.e., if the set of scattered substrings of any language of the class is effectively regular). The obtained decidability results contrast some undecidability results. In fact, for all (non-regular) language classes that we present as examples with decidable separability, it is undecidable whether a given language is a PTL itself. Our characterization involves a result of independent interest, which states that for any kind of languages $I$ and $E$, non-separability by PTL is equivalent to the existence of common patterns in $I$ and $E$.

研究の動機と目的

• 言語クラス 𝒞 に対して、部分的テスト可能言語（PTL）による分離問題が決定可能となる条件を特定すること。
• PTL 分離可能性が決定可能であるための、弱い閉包仮定のもとでの必要十分条件を同定すること。
• PTL 分離可能性と、散在部分文字列順序における下方向閉包の有効な正則性との関係を明確にすること。
• 多くの自然な言語クラスにおいて PTL メンバーシップが決定不能であるのと対照的に、PTL 分離可能性が決定可能である理由を対比すること。
• 文脈自由言語やベクトル加算システムの言語といった非正則クラスに適用可能な一般化された枠組みを提供すること。

提案手法

• 言語クラス 𝒞 に属する言語の構造に関連する非有界性問題の決定可能性に、PTL 分離可能性問題を還元する。
• PTL 分離可能性の決定可能性を特徴付ける2つの非有界性問題の変種を導入し、それらを分析する。
• PTL による非分離性が、言語 I と E の間で共通のパターンが存在することと同値であることを確立する。
• 言語の交差集合の有効な構成を保証するため、𝒞 の閉包性質（例えば、補集合、共通部分、およびモルフィズムに関する閉包）を用いる。
• PTL が A*a1A*...A*anA* の形の言語の有限ブール結合として表現できることに着目し、記号の順序と出現回数に注目する。
• 形式的言語理論の結果、特に散在部分文字列順序における下方向閉包の概念を応用し、有効な正則性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの言語クラス 𝒞 に対して、2つの言語 I と E を部分的テスト可能言語で分離する問題が決定可能となるか？
• RQ2 言語クラス 𝒞 のどの構造的性質が、𝒞 に属する任意の言語の散在部分文字列順序における下方向閉包が有効に正則であることを保証するか？
• RQ3 2つの言語 I と E に共通のパターンが存在することは、それらが PTL で非分離可能であることとどのように関係するか？
• RQ4 文脈自由言語において PTL メンバーシップが決定不能であるにもかかわらず、なぜ PTL 分離可能性が決定可能となるのか？
• RQ5 PTL 分離可能性の特徴付けを、正則言語や PTL の部分クラスといった他の分離器クラスに拡張できるか？

主な発見

• 言語クラス 𝒞 における PTL 分離可能性の決定可能性は、𝒞 に属する言語の構造に関連する特定の非有界性問題の決定可能性と同値である。
• 補集合およびモルフィズムに関して閉じた任意の言語クラス 𝒞 に対して、PTL 分離可能性は、散在部分文字列順序における 𝒞 に属する任意の言語の下方向閉包が有効に正則であることに限り、決定可能である。
• 文脈自由言語およびラベル付きベクトル加算システムの言語において、PTL 分離可能性は決定可能であるが、与えられた文脈自由言語が実際に PTL であるかどうかを判定することは決定不能である。
• PTL による非分離性は、2つの言語 I と E の間に共通のパターンが存在することと同値であり、非分離性の構造的特徴づけを提供する。
• 本稿では、他の分離器クラスへも拡張可能な一般化された枠組みを確立しており、交差空集合問題に基づく正則分離可能性の特徴付けの可能性を示唆している。
• 一般に決定不能であるとされる空集合判定問題やメンバーシップ問題とは対照的に、本研究の結果は、分離可能性がメンバーシップ判定とは独立して決定可能である可能性を示している。