[論文レビュー] A characterization of a class of maximum nonlinear functions

Doreen Hertel, Alexander Pott|ArXiv.org|Aug 1, 2005

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{F}_{2^m}$ 上の座標関数がコディメンション2の部分空間の特性関数と最小距離をとるという性質を分析することで、$\gcd(k,m)=1$ を満たす $x^{2^k+1}$ 形式のゴールドべき関数が、$\mathbb{F}_{2^m}$ 上で唯一の最大非線形関数であることを同定している。Walsh変換とベクトル空間幾何学を用いて、このような関数が、すべてのコディメンション2の部分空間との交差が最小であるという性質によって一意に特定されることを証明し、構造的特徴付けを確立している。

ABSTRACT

Maximum nonlinear functions on finite fields are widely used in cryptography because the coordinate functions have large distance to linear functions. More precisely, the Hamming distance to the characteristic functions of hyperplanes is large. One class of maximum nonlinear functions are the Gold power functions We characterize these functions in terms of the distance of their coordinate functions to characteristic functions of subspaces of codimension 2.

研究の動機と目的

• 座標関数の幾何的性質を用いて、$\mathbb{F}_{2^m}$ 上の最大非線形関数のクラスを特徴付けること。
• $\gcd(k,m)=1$ を満たす $x^{2^k+1}$ 形式のゴールドべき関数が、新しい部分空間距離基準によって最大非線形性を達成する唯一の関数であることを同定すること。
• $\mathbb{F}_{2^m}$ 上のコディメンション2部分空間との交差に基づいた、最大非線形関数の構造的特徴付けを確立すること。
• Walsh係数と巡回的ベクトル表現を用いて、最大非線形性の必要十分条件を提示すること。

提案手法

• べき関数の非線形性を分析するために、Walsh変換 $\mathcal{W}_d(\gamma) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{2^m}} (-1)^{\operatorname{tr}(\gamma x + x^d)}$ を用いる。
• 集合 $D_d = \{x : \operatorname{tr}(x^d) = 1\}$ と超平面 $H^0(\alpha) = \{x : \operatorname{tr}(\alpha x) = 0\}$ の交差サイズ $|D_d \cap H^0(\alpha)|$ を分析し、これとWalsh係数を関連付ける。
• 指数 $d$ の巡回的バイナリーベクトル表現 $\bar{d}$ を導入し、その巡回形におけるランとギャップを定義して、対称性と周期性を分析する。
• 部分ベクトル $w$ を $\bar{d}$ から再帰的に構築するアルゴリズムを用い、$|S(w)|$ が奇数となるようにする。ここで $S(w)$ は $w$ の巡回シフトの集合で、$\bar{d}$ の部分列として含まれる。この手法により、構造的非線形性を検出する。
• 指数 $d$ がゴールド関数に対応するとき、かつそのときに限り、$|S(w)|$ が奇数になるという事実を用いる。これは $\bar{d}$ の重みとラン構造に基づく。
• 最大非線形関数では $\mathcal{L}(F) = 2^{(m+1)/2}$ が成り立つことを利用し、コディメンション2部分空間への距離条件を満たすとき、この等式がゴールド関数に限り成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのベクトル関数 $F: \mathbb{F}_{2^m} \to \mathbb{F}_{2^m}$ が最大非線形性 $\mathcal{L}(F) = 2^{(m+1)/2}$ を達成するか？
• RQ2 コディメンション2の部分空間への距離が最小であるという性質によって、$\gcd(k,m)=1$ を満たす $x^{2^k+1}$ 形式のゴールドべき関数のクラスは一意に特徴付けられるか？
• RQ3 $x^d$ の指数 $d$ が、すべての座標関数 $F_\beta(x) = \operatorname{tr}(\beta F(x))$ が最大非線形性を達成するようにする構造的性質は何か？
• RQ4 指数 $d$ の巡回的バイナリ表現は、関数 $x^d$ の非線形性とどのように関係するか？
• RQ5 $d$ のバイナリ展開におけるランとギャップが満たすべき条件は何か？その条件下で関数 $x^d$ が最大非線形性を達成するか？

主な発見

• 指数 $\gcd(k,m)=1$ を満たすゴールドべき関数 $x^{2^k+1}$ は、$\mathbb{F}_{2^m}$ から $\mathbb{F}_{2^m}$ への関数 $F$ で、すべての座標関数 $F_\beta$ が最大非線形性 $\mathcal{L}(F) = 2^{(m+1)/2}$ を達成する唯一の関数である。
• 関数 $F(x) = x^d$ が最大非線形であるための必要十分条件は、集合 $D_d = \{x : \operatorname{tr}(x^d) = 1\}$ が $\mathbb{F}_{2^m}$ のすべてのコディメンション2部分空間と $2^{m-2}$ 個の共通要素を持つことである。
• アルゴリズムにより、$\bar{d}$ の部分ベクトル $w$ を構築し、$|S(w)|$ が奇数となるのは $d$ がゴールド関数に対応するときのみである。これにより、構造的テストが可能となる。
• $\gcd(d, 2^m - 1) = 1$ を満たす $d$ に対して、関数 $x^d$ が最大非線形であるのは、$\bar{d}$ の重みが2の累乗であり、ランギャップ構造がアルゴリズム的条件を満たすときである。
• 本論文は、$\mathcal{L}(F) = 2^{(m+1)/2}$ であることがゴールド関数に限り成り立つことを証明し、部分空間距離を用いて最大非線形関数のクラスを完全に特徴付けた。
• コディメンション2部分空間を用いた特徴付けは、ゴールド関数を他の最大非線形関数と区別する、新しい幾何的基準を提供している。