[論文レビュー] A characterization of amenability of group actions on $C^\ast$-algebras

Masayoshi Matsumura|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、単位的可換 $C^*$-代数 $A$ 上に作用する離散的正確な群 $\Gamma$ に対して、全交叉積と減少交叉積 $C^*$-代数の一致が作用のアメニタリティを示すことを確立している。証明は弱期待値性質（WEP）と性質 $C'$ を用い、アーヴェソンの拡張定理と $\Gamma$-不変の完全正値マップを用いて、減少交叉積が核となることを示し、既知の特徴づけによりアメニタリティを導く。

ABSTRACT

We show that coincidence of the full and reduced crossed product $C^\ast$-algebras of a group action on a unital commutative $C^\ast$-algebra implies amenability of the action whenever the group is exact. This is a partial answer to a problem posed by C. Anantharaman-Delaroche in 1987.

研究の動機と目的

• 1987 年にアナンタラマナン＝デラロシュが提起した、群作用のアメニタリティを交叉積の一致によって特徴づけるという問題の部分的解決を図ること。
• 既知の結果（アメニタリティ作用は全交叉積と減少交叉積の一致をもたらす）の逆を確立すること。
• $A \otimes A^{\rm op}$ に核性仮定を課したもとで、非可換 $C^*$-代数への特徴づけの拡張を図ること。
• 正確な群 $\Gamma$ に対して、$A$ が単位的かつ可換であるとき、交叉積の一致が作用のアメニタリティを示すこと。
• ハルニッキーの手法とは異なる、弱期待値性質と性質 $C'$ を用いた新しい証明技法を提供すること。

提案手法

• アーヴェソンの拡張定理を用いて、減少交叉積の表現を $B(\ell^2\Gamma \otimes H)$ 上の完全正値マップに上昇させる。
• 乗法的ドメインの性質を活用して、$\ell^\infty\Gamma \otimes A$ から $A^{\ast\ast}$ への $\Gamma$-不変完全正値マップを構成する。
• アルコールトとバティの弱期待値性質（WEP）と性質 $C'$ を用いて、そのようなマップの存在を保証する。
• $\Gamma$ が正確で $A$ が単位的であるとき、作用 $\Gamma \curvearrowright \ell^\infty\Gamma \otimes A$ がアメニタリティを示す。
• 減少交叉積の関手的性質を用いて、包含写像 $A \rtimes_r \Gamma \hookrightarrow (A \rtimes_r \Gamma)^{\ast\ast}$ が核となる $C^*$-代数を通じて因数分解する可換図式を構成する。
• ある $C^*$-代数がその二重双対への埋め込みが核となる写像を通じて行われるならば、その代数は核であるという事実を用い、$A \rtimes_r \Gamma$ が核であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $\Gamma$ が正確であると仮定したとき、単位的可換 $C^*$-代数 $A$ 上の群作用について、全交叉積と減少交叉積が一致するならば、その作用はアメニタリティをもつのか？
• RQ2 アナンタラマナン＝デラロシュの結果の逆（アメニタリティ作用は交叉積の一致をもたらす）が、群の正確性の下で確立可能か？
• RQ3 減少交叉積の核性によるアメニタリティの特徴づけを、非可換 $C^*$-代数へどの程度まで拡張できるか？
• RQ4 弱期待値性質（WEP）と性質 $C'$ は、交叉積代数の $\Gamma$-不変完全正値マップを構成する際にどのように作用するか？
• RQ5 $\Gamma$ が正確で $A$ が単位的であるとき、対角的作用 $\Gamma \curvearrowright \ell^\infty\Gamma \otimes A$ はアメニタリティをもつのか？

主な発見

• 離散的正確な群 $\Gamma$ と単位的可換 $\Gamma$-$C^*$-代数 $A$ に対して、全交叉積と減少交叉積が一致するならば、作用 $\Gamma \curvearrowright A$ はアメニタリティをもつ。
• 減少交叉積 $A \rtimes_r \Gamma$ は核である。これは $A$ が単位的かつ可換であるとき、作用のアメニタリティを示す。
• $A \otimes A^{\rm op}$ が核であり、かつ $A \otimes A^{\rm op}$ の全交叉積と減少交叉積が一致するならば、この結果は非可換 $C^*$-代数へ拡張可能である。
• 証明は、アーヴェソンの拡張と乗法的ドメインの議論を用いて、$\ell^\infty\Gamma \otimes A$ から $A^{\ast\ast}$ への $\Gamma$-不変完全正値マップの構成に依存する。
• 正確な群 $\Gamma$ に対して、作用 $\Gamma \curvearrowright \ell^\infty\Gamma \otimes A$ がアメニタリティをもつことが示され、これは減少交叉積の核性の証明に不可欠である。
• $A \rtimes_r \Gamma$ の二重双対への埋め込みが核となる $C^*$-代数を通じて因数分解されることから、$A \rtimes_r \Gamma$ が核であることが導かれる。