[論文レビュー] A Characterization of Bi-Lipschitz Embeddable Metric Spaces in Terms of Local Bi-Lipschitz Embeddability

Jeehyeon Seo|arXiv (Cornell University)|May 12, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間への双リーマン埋め込みを許容する一様的完備で、完全かつダブリングな距離空間の特徴付けを提供する。このような埋め込みが存在するための必要十分条件は、空間がダブリング測度を支持しており、閉部分集合に関する補集合が一様に局所的な双リーマン埋め込みを許容することである。主な貢献は、ホイットニー型分解とコリプシッツ条件の検証を通じて、局所的データからグローバル埋め込みを得る結果であり、グラシーン平面への応用がなされ、これが初めて双リーマン埋め込みを許容することを示した。

ABSTRACT

We characterize uniformly perfect, complete, doubling metric spaces which embed bi- Lipschitzly into Euclidean space. Our result applies in particular to spaces of Grushin type equipped with Carnot-Carathéodory distance. Hence we obtain the first example of a sub-Riemannian mani- fold admitting such a bi-Lipschitz embedding. Our techniques involve a passage from local to global information, building on work of Christ and McShane. A new feature of our proof is the verification of the co-Lipschitz condition. This verification splits into a large scale case and a local case. These cases are distinguished by a relative distance map which is associated to a Whitney-type decom- position of an open subset Ω of the space. We prove that if the Whitney cubes embed uniformly bi-Lipschitzly into a fixed Euclidean space, and if the complement of Ω also embeds, then so does the full space.

研究の動機と目的

• 一様的完備で、完全かつダブリングな距離空間がユークリッド空間に双リーマン埋め込み可能であるための特徴付けを行う。
• ホイットニー型立方体の均一な局所的埋め込みとコリプシッツ条件に基づく、グローバルな双リーマン埋め込み可能性の十分条件を確立する。
• グラシーン平面がユークリッド空間に双リーマン埋め込み可能かどうかという未解決の問題を解消する。
• クリストとマクシェーンの枠組みを拡張し、大規模および局所的ケースの区別を用いてコリプシッツ条件を検証する。

提案手法

• 一様的完備性とダブリング測度の存在に基づき、距離空間内の開集合 Ω のホイットニー型分解を用いる。
• ホイットニー立方体 Q** 上で、立方体に依存しない一様な定数を有する局所的双リーマン埋め込みを構成する。
• 重なりを扱うためにカラーマップを適用し、パーティション・オブ・ユニティを介してグローバル埋め込みにおける一様な制御を保証する。
• 相対的距離写像に基づく大規模ケースと局所的ケースに分けて分析することで、コリプシッツ条件を検証する。
• Ω の補集合と閉部分集合 Y をユークリッド空間に埋め込み、それらを組み合わせてグローバルな双リーマン埋め込みを構成する。
• グラシーン平面および水平分布が単項式ベクトル場によって定義されるより一般的なグラシーン型空間にこの枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様的完備で、完全かつダブリングな距離空間が、どのような条件下でユークリッド空間に双リーマン埋め込み可能となるか？
• RQ2 カルノー＝カラテオドリ距離を備えたグラシーン平面は、ユークリッド空間に双リーマン埋め込み可能か？
• RQ3 コリプシッツ条件は、局所的埋め込みからグローバルな双リーマン埋め込みへと移行する際に果たす役割は何か？
• RQ4 クリスト型の局所的埋め込みをどのように一様に制御することでグローバルな埋め込みが得られるか？
• RQ5 部分リーマン多様体が双リーマン埋め込み可能であるために必要な幾何学的および解析的十分条件は何か？

主な発見

• 一様的完備で、完全かつダブリングな距離空間がユークリッド空間に双リーマン埋め込み可能であるための必要十分条件は、空間がダブリング測度を支持しており、閉部分集合に関する補集合がスケールに依存しない一様な双リーマン埋め込みを許容することである。
• カルノー＝カラテオドリ距離を備えたグラシーン平面は、あるユークリッド空間に双リーマン埋め込み可能であり、これが部分リーマン多様体においてこの性質を有する初めての例である。
• ホイットニー分解に関連する相対的距離写像を用いて、大規模ケースと局所的ケースに分けて分析することで、コリプシッツ条件が検証された。
• ホイットニー立方体 Q** 上での一様な局所的双リーマン埋め込みは、Ω の補集合の埋め込みと組み合わせることで、グローバルな双リーマン埋め込みを導く。
• 埋め込み次元と双リーマン定数は、測度のダブリング定数、埋め込み次元 M₁ および M₂、および局所的双リーマン定数に依存する。
• この結果は、水平分布が単項式によって定義されるより一般的なグラシーン型空間へと拡張可能であり、より広範なクラスの部分リーマン多様体が同様の埋め込みを許容する可能性を示唆している。