[論文レビュー] A characterization of categories of coherent sheaves of certain algebraic stacks

Daniel Schäppi|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、弱Tannakian圏に対する一般化されたTannakian認識定理を用いて、特定の代数的スタック上の連接層の圏の特徴付けを確立する。この研究では、このような圏がアダムズホープ代数体上のコモジュール圏として生じることを示し、代数的スタックの層の圏からのカテゴリカルな再構成を可能にするとともに、リチャード・ピンクによるフォンタイン＝ラフィー層のフィルトレーション付きモジュールに関する予想を解決する。

ABSTRACT

Under certain conditions, a scheme can be reconstructed from its category of quasi-coherent sheaves. The Tannakian reconstruction theorem provides another example where a geometric object can be reconstructed from an associated category, in this case the category of its finite dimensional representations. Lurie's result that the pseudofunctor which sends a geometric stack to its category of quasi-coherent sheaves is fully faithful provides a conceptual explanation for why this works. In this paper we prove a generalized Tannakian recognition theorem, in order to characterize a part of the image of the extension of the above pseudofunctor to algebraic stacks in the sense of Naumann. This allows us to further investigate a conjecture by Richard Pink about categories of filtered modules, which were defined by Fontaine and Laffaille to construct p-adic Galois representations. In order to do this we give a new characterization of Adams Hopf algebroids, which also allows us to answer a question posed by Mark Hovey.

研究の動機と目的

• 弱Tannakian圏を用いて、代数的スタック上の連接層の圏のカテゴリカルな特徴付けを提供すること。
• Lurieの幾何的スタックの対称モノイダルアーベル圏への擬関手的埋め込みを、ファイバー関手を用いて代数的スタックへ一般化すること。
• リチャード・ピンクによるフォンタイン＝ラフィーのフィルトレーション付きモジュールの圏に関する予想を、アダムズスタックの2-categoryにおけるバイコリミットとして同定することにより解決すること。
• Tannakian双対性を用いてアダムズホープ代数体の新たな特徴付けを提示し、マーク・ホーヴェーが提起した問いに答えること。

提案手法

• 任意の可換環R上の対称モノイダルアーベル圏としての弱Tannakian圏の概念を導入し、あるR代数Bに対するMod_Bへのファイバー関手を備える。
• 一般化されたTannakian認識定理を適用し、任意の弱Tannakian圏が代数的スタック上の連接層の圏と同値であることを示す。
• 左Kan拡張とベックのコモノイド性定理を用いて、ホープ代数体上のコモジュール圏の普遍性を確立する。
• モノイドの形式的理論と擬関手を用いて、内部群コホモロジーのカテゴリカルな局所化としてスタックを特徴付ける。
• 認識定理を対称モノイダルアーベル圏の2-categoryに適用し、代数的スタックを完全忠実に埋め込む。
• 被覆の核対に関する降下データを用いて、アダムズスタックの図式のバイコリミットを計算し、フィルトレーション付きモジュールの圏をバイリミットとして実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの対称モノイダルアーベル圏が代数的スタック上の連接層の圏として生じるか？
• RQ2 アダムズスタックの2-category内において、フォンタイン＝ラフィーのフィルトレーション付きモジュールの圏をどのようにカテゴリカルに特徴付けることができるか？
• RQ3 ホープ代数体のどの条件が、そのコモジュール圏が弱Tannakianであることを保証するか？
• RQ4 代数的スタック上の連接層の圏は、そのファイバー関手と双対的条件から再構成可能か？
• RQ5 フォンタイン＝ラフィー理論におけるフィルトレーション付きモジュールの圏の背後にある正確なカテゴリカル構造は何か？

主な発見

• 任意の弱Tannakian圏は、可換環R上の代数的スタック上の連接層の圏と同値である。
• 平坦なホープ代数体(A, Γ)に付随するスタック上の連接層の圏は、Aが連接的であれば、(A, Γ)上のコモジュール圏と同値である。
• フォンタイン＝ラフィー理論におけるフィルトレーション付きモジュールの圏は、アダムズスタックの2-categoryにおけるバイコリミットとして実現され、ピンクの予想が確認された。
• アダムズホープ代数体は、コモジュール圏が「なだらかな」ファイバー関手を備えた弱Tannakianであるようなホープ代数体として特徴付けられる。
• 幾何的スタックをその準同型層の圏に送る擬関手は、Lurieの結果を代数的スタックへ拡張して完全忠実である。
• スーパーエクステンシブサイト上の擬関手の関連スタックは、2-カテゴリカルな局所化に関して保存され、降下およびコリミットと整合性を保つ。