[論文レビュー] A characterization of certain Shimura curves in the moduli stack of abelian varieties

Eckart Viehweg, Kang Zuo|ArXiv.org|Jul 25, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、アラケロフの上限に達するアーベル多様体の族を特徴づける。その族は、定数アーベル多様体とモジュラー楕円曲線の積にアイソジェニクスであることを示し、底曲線はシムーラ曲線である。ホッジ bundle 内のヘイグス・フィールドの最大性は、一般ファイバー上の特別なホッジサイクルとモジュラー構造に対応し、変動ホッジ構造とモノドロミー制約を通じて、算術幾何学とシムーラ多様体を結びつける。

ABSTRACT

Let f:X-->Y be a semi-stable family of complex abelian varieties over a curve Y of genus q, and smooth over the complement of s points. If F(1,0) denotes the non-flat (1,0) part of the corresponding variation of Hodge structures, the Arakelov inequalities say that 2deg(F(1,0)) is bounded from above by g=rank(F(1,0))(2q-2+s). We show that for s>0 families reaching this bound are isogenous to the g-fold product of a modular family of elliptic curves, and a constant abelian variety. For s=0, if the flat part of the VHS is defined over the rational numbers, the family is isogeneous to the g-fold product of a family h:Z-->Y, and a constant abelian variety. In this case, h:Z-->Y is obtained from the corestriction of a quaternion algebra A, defined over a totally real numberfield F, and ramified over all infinite places but one. In case the flat part of the VHS is not defined over the rational numbers, we determine the structure of the VHS.

研究の動機と目的

• アラケロフの上限に達するアーベル多様体の族を、そのホッジ理論的および幾何的構造の観点から特徴づける。
• ヘイグス・フィールドの最大性と一般ファイバー上に存在する特別なホッジサイクルの存在との関係を確立する。
• このような族が、有限エタール被覆の上で定数アーベル多様体とモジュラー楕円曲線族の積にアイソジェニクスであることを示す。
• これらの族の幾何的および算術的性質を、シムーラ多様体理論およびムムフォード＝タート群と結びつける。
• ヘイグスバンドルの分解とシンプソンの対応を用いることで、シムーラ多様体分類の代替を提供する。

提案手法

• 変動ホッジ構造 R¹f_*ℤ_X₀ からヘイグスバンドル (E, θ) を構成するために、デリーニュ拡張とホッジフィルトレーションの使用。
• ヘイグスバンドルを、アーメン部分 F と平坦部分 N に分解するための、ヘイグスバンドルの分解定理の適用。
• シンプソンの対応を用いて、ヘイグス・フィールドの最大性が、ランク2の重み1の変動とユニタリ系の直和およびテンソル積としての局所系の構造と関係することを関係づける。
• モノドロミーとユニポテンシー条件の分析により、ヘイグス・フィールドが底曲線の対数構造と整合的で、適切に定義されることを保証する。
• アラケロフ不等式およびその等号成立の場合の応用により、極値的族を特徴づける。
• ヘイグス・フィールドの最大性に起因するモジュラー楕円曲線への還元により、シムーラ曲線がモジュライ空間として構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アラケロフの上限に達するアーベル多様体の族を特徴づける幾何的およびホッジ理論的条件は何か？
• RQ2 ヘイグス・フィールドの最大性は、一般ファイバー上に存在する特別なホッジサイクルとどのように関係するか？
• RQ3 アラケロフの上限に達する族は、より単純な成分に分解可能か？ もし可能ならば、それらは何か？
• RQ4 このような族のモジュライ的解釈は、シムーラ多様体または完全測地的部分多様体として何を意味するか？
• RQ5 曲線のヤコビアンからなる族で、アラケロフの上限に達するものは存在するか？ その場合、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• アラケロフの上限に達するアーベル多様体の族は、有限エタール被覆の上で、定数アーベル多様体と複数のモジュラー楕円曲線族の積にアイソジェニクスである。
• 底曲線 Y はシムーラ曲線であり、族は適切なレベル構造を持つモジュライ空間上の普遍族の引き戻しとして得られる。
• ヘイグス・フィールドの最大性（すなわち θ が同型）は、アラケロフの上限が達成されることと同値である。
• 局所系にユニタリ部が存在しない場合、ムムフォード＝タート群は ℚ 上で定義され、族は与えられた Hg 部分群を持つシムーラ多様体上の普遍族の引き戻しである。
• ℙ¹ 上の曲線のヤコビアンの場合、アラケロフの上限は、特異ファイバーの数が正確に4つのときのみ達成され、そのような族は定数アーベル多様体とモジュラー楕円曲線族の積にアイソジェニクスである。
• このような族がヤコビアンとして現れる例（反例）が存在する。例えば、レベル構造付きの楕円曲線へのヒューリッツ被覆を用い、尖点に加えて3つの追加の特異ファイバーを持つ族が構成可能である。