[論文レビュー] A characterization of general position sets in graphs

Bijo S. Anand, Ullas Chandran S.V.+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般位置集合を特徴付けるために、頂点部分集合 S が一般位置集合であるための必要十分条件を証明している。その条件とは、S に誘導される部分グラフが、S を非推移的かつ距離一定の分割をなす完全部分グラフからなることである。主な貢献は、コグラフの一般位置数を多項式時間で計算するアルゴリズムの確立と、二部グラフの補グラフ（木、グリッド、ハイパーキューブを含む）に対して正確な公式の導出である。

ABSTRACT

A vertex subset $S$ of a graph $G$ is a general position set of $G$ if no vertex of $S$ lies on a geodesic between two other vertices of $S$. The cardinality of a largest general position set of $G$ is the general position number ${ m gp}(G)$ of $G$. It is proved that $S\subseteq V(G)$ is a general position set if and only if the components of $G[S]$ are complete subgraphs, the vertices of which form an in-transitive, distance-constant partition of $S$. If ${ m diam}(G) = 2$, then ${ m gp}(G)$ is the maximum of the clique number of $G$ and the maximum order of an induced complete multipartite subgraph of the complement of $G$. As a consequence, ${ m gp}(G)$ of a cograph $G$ can be determined in polynomial time. If $G$ is bipartite, then ${ m gp}(G) \leq \alpha(G)$ with equality if ${ m diam}(G) \in \{2,3\}$. A formula for the general position number of the complement of a bipartite graph is deduced and simplified for the complements of trees, of grids, and of hypercubes.

研究の動機と目的

• 構造的グラフ性質を用いて、グラフにおける一般位置集合を特徴付けること。
• 特にコグラフおよび二部グラフの補グラフを含むさまざまなグラフクラスについて、一般位置数 gp(G) を特定すること。
• 二部グラフにおいて gp(G) が独立数 α(G) に等しくなる条件を確立すること。
• 木、グリッド、ハイパーキューブを含む特定の二部グラフの補グラフの一般位置数に対する正確な公式を導出すること。

提案手法

• 頂点部分集合 S が、S の2つの他の頂点間の測地線に含まれる頂点を含まないとき、一般位置集合と定義される。
• 本稿では、S が一般位置集合であることと、G[S] の連結成分が完全部分グラフであり、S を非推移的かつ距離一定の分割をなすことが、必要十分条件であることを証明している。
• 直径が 2 のグラフに対しては、一般位置数 gp(G) が、clique数 ω(G) と、補グラフ G̅ に誘導される完全多部グラフ部分グラフの最大順序との最大値に等しいことが示されている。
• コグラフに対しては、その構造的分解と上記の特徴付けを活用することで、gp(G) を多項式時間で計算するアルゴリズムが確立された。
• 二部グラフ G に対して gp(G̅) の公式が導出され、その公式は木、グリッド、ハイパーキューブなどの特殊ケースに簡略化される。
• 上記の特徴付けを用いて、二部グラフにおいて gp(G) ≤ α(G) が成り立つことが証明され、直径が 2 または 3 のとき等号が成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ G において、頂点部分集合 S が一般位置集合であるのはいつか？ また、それを満たすために満たすべき構造的性質は何か？
• RQ2 コグラフ G に対して一般位置数 gp(G) は何か？ また、多項式時間で計算可能か？
• RQ3 二部グラフにおいて gp(G) が独立数 α(G) に等しくなる条件は何か？
• RQ4 二部グラフ G の補グラフ G̅ に対して、一般位置数 gp(G̅) の正確な値は何か？ また、木、グリッド、ハイパーキューブに対してはどのように簡略化されるか？

主な発見

• 頂点部分集合 S がグラフ G において一般位置集合であることと、誘導部分グラフ G[S] が、S を非推移的かつ距離一定の分割をなす完全部分グラフからなることは、必要十分条件である。
• 直径が 2 のグラフに対しては、一般位置数 gp(G) が、clique数 ω(G) と、補グラフ G̅ に誘導される完全多部グラフ部分グラフの最大順序との最大値に等しい。
• コグラフ G に対して、その構造的性質と一般位置集合の特徴付けを活用することで、一般位置数 gp(G) を多項式時間で計算可能である。
• 二部グラフに対しては gp(G) ≤ α(G) が成り立ち、直径が 2 または 3 のとき等号が成立する。
• 二部グラフ G の補グラフ G̅ に対して gp(G̅) の公式が導出され、その公式は木、グリッド、ハイパーキューブに対して特に簡潔に簡略化される。
• 木、グリッド、ハイパーキューブの補グラフの一般位置数は、導出された公式を用いて正確に計算可能である。