[論文レビュー] A characterization of higher rank symmetric spaces via bounded cohomology

Mladen Bestvina, Koji Fujiwara|ArXiv.org|Feb 9, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有界コホモロジーを用いて高ランク対称空間を特徴づける。完全で、有限体積で、非正曲率な多様体が、その普遍被覆として高ランク対称空間を持つための必要十分条件は、有界コホモロジーから通常の第二コホモロジーへの写像の核が消えることである。証明は、ランク1等長写像をもつCAT(0)空間に作用する群に対する無限次元の準ホモモーフィズムの新規構成を用い、ランク剛性定理とWPD条件を活用する。

ABSTRACT

Let $M$ be complete nonpositively curved Riemannian manifold of finite volume whose fundamental group $Γ$ does not contain a finite index subgroup which is a product of infinite groups. We show that the universal cover $ ilde M$ is a higher rank symmetric space iff $H^2_b(M;\R) o H^2(M;\R)$ is injective (and otherwise the kernel is infinite-dimensional). This is the converse of a theorem of Burger-Monod. The proof uses the celebrated Rank Rigidity Theorem, as well as a new construction of quasi-homomorphisms on groups that act on CAT(0) spaces and contain rank 1 elements.

研究の動機と目的

• 半単純リー群の不可約格子において、有界コホモロジーの核が消えるというバーガー＝モノドの定理の逆を確立すること。
• 有限体積で非正曲率な多様体の中で、有界コホモロジーを用いて高ランク対称空間を特徴づけること。
• ランク1等長写像をもつCAT(0)空間に作用する群に対して、無限次元の準ホモモーフィズム空間を構成する新規な手法を開発すること。
• ランク剛性定理を応用し、コホモロジー的性質に基づいて普遍被覆の幾何的構造を分類すること。
• 有界コホモロジー写像の核が消えることと、普遍被覆が高ランク対称空間であることの完全な一致が成り立つことを示すこと。

提案手法

• ホモオナス準ホモモーフィズムの空間を、ホモモーフィズムおよび有界関数を modulo した空間として定義し、それが有界コホモロジーから通常コホモロジーへの写像の核に同型であることを特定する。
• CAT(0)空間への群作用におけるWPD（弱適切不連続性）条件を用いて、ランク1等長写像の存在を保証する。
• テイコフリ空間におけるワイエル＝ペルスキー計量と曲率の下界を用い、包あらい三角形を用いて、ランク1等長写像をもつ群における無限次元の準ホモモーフィズムを構成する。
• ガウス＝ボンネの定理と曲率推定を用いて、測地的軸の近傍における面積と長さを評価し、射影の有界性を証明する。
• ランク剛性定理を活用し、普遍被覆に可約的またはユークリッド的因子が存在しないことを排除し、対称空間またはランク1等長写像に還元する。
• 安定交換子長が0であることは、有界コホモロジー写像の核が消えることと同値であり、これはバヴァールドの定理と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界コホモロジー写像の核が消えることは、有限体積で非正曲率な多様体の中で高ランク対称空間を特徴づけることができるか？
• RQ2 群論的および幾何的条件下で、準ホモモーフィズム空間が無限次元のまま保たれるのはどのような場合か？
• RQ3 有界コホモロジーを用いて、高ランク対称空間と他の非正曲率多様体をどのように区別できるか？
• RQ4 ランク1等長写像とWPD条件は、準ホモモーフィズム空間の構造において果たす役割は何か？
• RQ5 幾何群論的道具を用いて、バーガー＝モノドの消える結果をどの程度まで逆転できるか？

主な発見

• 有限体積で非正曲率な多様体の普遍被覆が高ランク対称空間であるための必要十分条件は、有界コホモロジーから通常第二コホモロジーへの写像の核が自明であることである。
• 基本群に有限指数の無限群の直積や、擬似巡回部分群を含まない場合、核が自明であることと普遍被覆が高ランク対称空間であることは同値である。
• ランク1等長写像をもち、WPD条件を満たすCAT(0)空間に作用する群に対して、準ホモモーフィズムの空間は無限次元である。
• テイコフリ空間にワイエル＝ペルスキー計量を導入した場合、写像類群の作用はWPDを満たし、主定理の適用が可能になる。
• テイコフリ空間において、測地的軸から離れた任意の球の射影の直径は一様に有界である。これはWPDの検証に重要な技術的結果である。
• テイコフリ空間における測地的軸の近傍の曲率の下界から、面積と長さの推定が得られ、それらが射影の有界性を示し、WPD条件の裏付けを提供する。