[論文レビュー] A characterization of irreducible symmetric spaces and Euclidean buildings of higher rank by their asymptotic geometry

Bernhard Leeb|ArXiv.org|Mar 3, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 61

ひとこと要約

本稿は、非可約な球面的ビルディングを無限遠に持つ、測地的完備かつ局所コンパクトなハダール空間の漸近的幾何を特徴づけ、そのような空間が非可約な球面的ビルディングを無限遠に持つとき、完全測地線が分岐しないことと、それが対称空間であることとは同値であることを証明する。さらに、このような空間間の境界同型（ティーツ距離を保つ）が、ホモセティによって誘導されることを示し、モストウおよびプラサドの剛性定理を特異的かつ非正曲率の空間へ拡張する。

ABSTRACT

We study geodesically complete and locally compact Hadamard spaces X whose Tits boundary is a connected irreducible spherical building. We show that X is symmetric iff complete geodesics in X do not branch and a Euclidean building otherwise. Furthermore, every boundary equivalence (cone topology homeomorphism preserving the Tits metric) between two such spaces is induced by a homothety. As an application, we can extend the Mostow and Prasad rigidity theorems to compact singular (orbi)spaces of nonpositive curvature which are homotopy equivalent to a quotient of a symmetric space or Euclidean building by a cocompact group of isometries.

研究の動機と目的

• 非可約な対称空間および高ランクのユークリッドビルディングを、その漸近的幾何を用いて特徴づけること。
• 無限遠にビルディングを持つ測地的完備かつ局所コンパクトなハダール空間が、対称空間またはユークリッドビルディングである条件を特定すること。
• このような空間間の境界同型（ティーツ距離を保つコーン位相のホメオモーティズム）がホモセティによって誘導されることを確立すること。
• モストウおよびプラサドの剛性定理を、対称空間またはユークリッドビルディングのcocompact等長群による商空間にホモトピー同値である特異的（またはオビューラ）空間へ拡張すること。

提案手法

• ティーツ境界が連結で非可約な球面的ビルディングである測地的完備かつ局所コンパクトなハダール空間を分析する。
• 理想境界上のティーツ距離を用いて漸近的挙動を研究し、測地線の分岐に基づいて空間を分類する。
• ティーツ境界内の反対側の部屋のペア（ボウタイ）の概念を導入し、それらに同値関係を定義して空間内の頂点と関連付ける。
• 平行集合と凸核の概念を用いて、フラットおよびその境界の構造を分析する。
• バタフライ構成法と軸性等長写像の性質を用いて、ランク1および高ランクのケースを研究する。
• -equivariant quasi-isometry 論法と周期的フラットの稠密性を応用し、$Φ_{\infty}$境界同型を誘導する。その後、主な剛性結果を用いて、これをホモセティに引き上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測地的完備かつ局所コンパクトなハダール空間 $X$ が、非可約な球面的ビルディングを無限遠に持つとき、$X$ が対称空間であるための条件は何か？
• RQ2 高ランクのユークリッドビルディングの漸近的幾何は、測地線の挙動をどのように特徴づけるか？
• RQ3 2つのこのような空間間の境界同型（ティーツ距離を保つホメオモーティズム）がホモセティによって誘導されるのはいつか？
• RQ4 モストウおよびプラサドの剛性定理は、対称空間またはユークリッドビルディングのcocompact等長群による商空間にホモトピー同値である特異的かつ非正曲率のオビューラスぺースへ拡張可能か？
• RQ5 モデル空間における周期的フラットおよび準フラットの性質は、$Γ$-equivariant quasi-isometry の下で、ターゲット空間の幾何とどのように関係するか？

主な発見

• 測地的完備かつ局所コンパクトなハダール空間 $X$ が非可約な球面的ビルディングを無限遠に持つとき、$X$ が対称空間であることと、$X$ の完全測地線が分岐しないことは同値である。
• 完全測地線が分岐するならば、$X$ はユークリッドビルディングである。
• 2つのこのような空間間の境界同型（コーン位相のホメオモーティズムでティーツ距離を保つもの）は、すべてホモセティによって誘導される。
• 空間 $X$ は、その測地線の分岐挙動に応じて、対称空間またはユークリッドビルディングのいずれかである。
• $X_{\text{model}}$ と $X$ 間の $Γ$-equivariant quasi-isometry によって誘導される境界同型 $Φ_{\infty}$ は、$X_{\text{model}}$ の非可約因子をスケーリングすることで、$Γ$-equivariant 等長写像に引き上げられる。
• モストウおよびプラサドの剛性定理は、対称空間またはユークリッドビルディングのcocompact等長群による商空間にホモトピー同値である、非正曲率のコンパクトな特異的（またはオビューラ）空間へ拡張可能である。