[論文レビュー] A characterization of Koiso's typed solitons

Bo Yang|ArXiv.org|Feb 4, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Koisoのコンパクトなケーラー・リッチ・ソリトン構成を非コンパクトな設定に拡張し、コンパクトなケーラー＝アインシュタイン多様体上の正則線束に、完全な勾配ケーラー・リッチ・ソリトン（収縮型、拡張型、定常型）の存在を、線束のリッチ形式の曲率条件のもとで証明する。さらに、非負のリッチ曲率をもち、スカラー曲率が余次元1の部分多様体で最大となる定常ソリトンに関して、均一化定理を確立する：このようなソリトンは、その部分多様体上の正則線束と正則同型である。

ABSTRACT

By extending Koiso's examples to the non-compact case, we construct complete gradient Kahler-Ricci solitons of various types on certain holomorphic line bundles over compact Kahler-Einstein manifolds. Moreover, a uniformization result on steady gradient Kahler-Ricci solitons with non-negative Ricci curvature is obtained under additional assumptions.

研究の動機と目的

• コンパクトなケーラー＝アインシュタイン多様体上の非コンパクトな正則線束へのKoisoのコンパクトなケーラー・リッチ・ソリトン構成の一般化。
• 線束のリッチ形式の曲率条件のもとで、その全空間に収縮型、拡張型、定常型の完全な勾配ケーラー・リッチ・ソリトンの構成。
• 余次元1のコンパクトな複素部分多様体上でスカラー曲率が最大となる、非負のリッチ曲率をもつ定常勾配ケーラー・リッチ・ソリトンの特徴づけ。
• このようなソリトンが、スカラー曲率が最大となる部分多様体上の正則線束と正則同型であることを示す均一化定理の証明。

提案手法

• 線束の原点を除いた全空間 $L^*$ にケーラー計量を、$\tilde{g} = \pi^*g_t + dt^2 + (dt \circ \tilde{J})^2$ のようにワーパード積アンサッツを用いて構成する。ここで $g_t$ は $t$ に従って変化する。
• 線束のリッチ形式に条件を課すことにより、計量が勾配ケーラー・リッチ・ソリトン方程式を満たすように保証する。
• 特異点における正則ベクトル場の特異性を解析するため、Bryantの補題を適用し、ゼロ切断付近の構造を分析し、局所的な正則座標を構成する。
• スカラー曲率が最大となるコンパクト部分多様体 $K$ に点が収束することを、$-\nabla f$ が生成する正則フローを用いて示す。
• 各 $W_p$ から $\mathbb{C}$ への正則写像を、正規座標 $w^n$ のスケーリング挙動を用いて定義し、線束への正則同型を確立する。
• 線束のリッチ形式の固有値が、基底多様体上で定数であるという仮定に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなケーラー＝アインシュタイン多様体上の正則線束のリッチ形式にどのような条件を課すと、全空間に完全な勾配ケーラー・リッチ・ソリトンが存在するか？
• RQ2 Koisoのコンパクトソリトンに対する構成法は、特に正則線束上で非コンパクト設定に拡張可能か？
• RQ3 非負のリッチ曲率をもち、スカラー曲率が余次元1の部分多様体で最大となる定常勾配ケーラー・リッチ・ソリトンは、どのような幾何的構造をもつか？
• RQ4 曲率条件および最大性条件を満たす唯一のこのような定常ソリトンは、スカラー曲率が最大となる部分多様体上の正則線束と正則同型であるか？

主な発見

• コンパクトな $(n-1)$ 次元のケーラー＝アインシュタイン多様体で $Ric(g_0) = g_0$ を満たし、そのリッチ形式の固有値 $\lambda_i$ が定数である正則線束 $L$ に対して、すべての $i$ について $-1 < \lambda_i < 0$ ならば、完全な収縮型勾配ケーラー・リッチ・ソリトンが存在する。
• すべての $i$ について $\lambda_i < -1$ ならば、$L$ 上に完全な拡張型勾配ケーラー・リッチ・ソリトンの1パラメータ族が存在する。
• 線束 $L$ が標準線束であるとき、$L$ 上に完全な定常型勾配ケーラー・リッチ・ソリトンの1パラメータ族が存在する。
• これらの定常ソリトンは、ゼロ切断に沿って非負のリッチ曲率をもち、それ以外の点では正のリッチ曲率をもつ。
• スカラー曲率が余次元1のコンパクトな複素部分多様体 $K$ で正の最大値をとるものとし、$K$ から離れるにつれてリッチ曲率が正であると仮定すると、定常ソリトンは $K$ 上の正則線束と正則同型である。
• 証明は、Bryantの補題を用いて勾配ベクトル場の特異点付近の局所正則座標を構成し、それを正則フローで全球的に拡張することで、正則同型を確立する。